ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 456 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Отрезок BM — медиана треугольника с вершинами \(A(3; -5)\), \(B(2; -3)\), \(C(-1; 7)\). Найдите координаты и модуль вектора \(\vec{BM}\).

Краткий ответ:

Координаты точки M: \(x_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\); \(y_M = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\). Таким образом, \(M(1; 1)\).

Координаты вектора \(\vec{BM}\): \(x_{\vec{BM}} = 1 — 2 = -1\); \(y_{\vec{BM}} = 1 — (-3) = 1 + 3 = 4\). Таким образом, \(\vec{BM} = (-1; 4)\).

Модуль вектора \(\vec{BM}\): \(|\vec{BM}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\).

Ответ: (-1; 4); \(\sqrt{17}\).

Подробный ответ:

Для того чтобы найти координаты вектора \(\vec{BM}\) и его модуль, необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

Первым шагом мы определим координаты точки M. Поскольку отрезок BM является медианой треугольника ABC, это означает, что точка M является серединой стороны AC. Координаты середины отрезка, заданного точками \(A(x_A; y_A)\) и \(C(x_C; y_C)\), вычисляются по формулам: \(x_M = \frac{x_A + x_C}{2}\) и \(y_M = \frac{y_A + y_C}{2}\). Подставляя координаты точек A(3; -5) и C(-1; 7), получаем: \(x_M = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1\) и \(y_M = \frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1\). Таким образом, координаты точки M равны (1; 1).

Вторым шагом мы найдем координаты вектора \(\vec{BM}\). Вектор, идущий из точки \(B(x_B; y_B)\) в точку \(M(x_M; y_M)\), имеет координаты, которые определяются как разность соответствующих координат конечной и начальной точек: \((x_M — x_B; y_M — y_B)\). Для точки B(2; -3) и точки M(1; 1) координаты вектора \(\vec{BM}\) будут: \(x_{\vec{BM}} = 1 — 2 = -1\) и \(y_{\vec{BM}} = 1 — (-3) = 1 + 3 = 4\). Следовательно, вектор \(\vec{BM}\) имеет координаты (-1; 4).

Третьим и последним шагом мы вычислим модуль (длину) вектора \(\vec{BM}\). Модуль вектора \(\vec{v} = (x; y)\) вычисляется по формуле \(|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}\). Применяя эту формулу к вектору \(\vec{BM} = (-1; 4)\), получаем: \(|\vec{BM}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\).

Ответ: (-1; 4); \(\sqrt{17}\).

Оцени решение