ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 457 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точка F делит сторону BC прямоугольника ABCD в отношении \(1 : 2\), считая от вершины B (рис. 105). Найдите координаты векторов \(\vec{AF}\) и \(\vec{FD}\).

Краткий ответ:

Из условия \(CF : BF = 2 : 1\) и \(C(3; 0)\), \(F(3; -4)\) находим, что длина \(CF = \sqrt{(3-3)^2 + (0-(-4))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4\). Тогда \(BF = \frac{1}{2} CF = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\). Поскольку точки C и F имеют одинаковую x-координату, отрезок CF вертикальный. Точка B находится на той же вертикали, что и F, и на 2 единицы ниже F (так как F между B и C, и \(BF=2\)). Значит, координаты точки B: \(x_B = 3\), \(y_B = -4 — 2 = -6\). Таким образом, \(B(3; -6)\).

Так как ABCD — прямоугольник, вектор \(\vec{AD}\) равен вектору \(\vec{BC}\). Координаты вектора \(\vec{BC} = (3-3; 0-(-6)) = (0; 6)\). Пусть \(A(x_A; y_A)\). Тогда координаты вектора \(\vec{AD} = (5-x_A; 0-y_A)\). Приравнивая компоненты, получаем \(5-x_A = 0 \Rightarrow x_A = 5\) и \(0-y_A = 6 \Rightarrow y_A = -6\). Таким образом, \(A(5; -6)\).

Координаты вектора \(\vec{AF}\): \(x_{\vec{AF}} = F_x — A_x = 3 — 5 = -2\), \(y_{\vec{AF}} = F_y — A_y = -4 — (-6) = -4 + 6 = 2\). Значит, \(\vec{AF} = (-2; 2)\). Координаты вектора \(\vec{FD}\): \(x_{\vec{FD}} = D_x — F_x = 5 — 3 = 2\), \(y_{\vec{FD}} = D_y — F_y = 0 — (-4) = 0 + 4 = 4\). Значит, \(\vec{FD} = (2; 4)\).

Подробный ответ:

Дано: прямоугольник ABCD, соотношение \(CF : BF = 2 : 1\), координаты точек \(C(3; 0)\), \(D(5; 0)\), \(F(3; -4)\).

Для начала определим координаты точки B. Известно, что точка F лежит на отрезке BC и делит его в отношении \(CF : BF = 2 : 1\). Это означает, что длина отрезка CF в два раза больше длины отрезка BF. Сначала найдем длину отрезка CF, используя формулу расстояния между двумя точками \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\). Подставляя координаты точек \(C(3; 0)\) и \(F(3; -4)\), получаем \(CF = \sqrt{(3-3)^2 + (0-(-4))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4\). Зная, что \(CF = 4\) и \(CF : BF = 2 : 1\), мы можем найти длину отрезка BF: \(BF = \frac{1}{2} CF = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\). Поскольку x-координаты точек C и F одинаковы (равны 3), отрезок CF является вертикальным. Точка F находится ниже точки C (y-координата -4 меньше 0). Так как F находится между B и C, и BF = 2, то точка B будет находиться на 2 единицы ниже точки F. Следовательно, x-координата точки B будет такой же, как у F, то есть \(x_B = 3\), а y-координата будет \(y_B = y_F — BF = -4 — 2 = -6\). Таким образом, координаты точки B: \((3; -6)\).

Далее найдем координаты точки A. Поскольку ABCD является прямоугольником, его противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что вектор \(\vec{AD}\) должен быть равен вектору \(\vec{BC}\). Сначала найдем координаты вектора \(\vec{BC}\), вычитая координаты начальной точки B из координат конечной точки C: \(\vec{BC} = (x_C — x_B; y_C — y_B) = (3-3; 0-(-6)) = (0; 6)\). Теперь пусть координаты точки A будут \((x_A; y_A)\). Тогда координаты вектора \(\vec{AD}\) будут \((x_D — x_A; y_D — y_A) = (5-x_A; 0-y_A)\). Приравнивая соответствующие компоненты векторов \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\), получаем систему уравнений: \(5-x_A = 0\) и \(0-y_A = 6\). Из первого уравнения находим \(x_A = 5\), а из второго \(y_A = -6\). Следовательно, координаты точки A: \((5; -6)\).

Теперь вычислим координаты вектора \(\vec{AF}\). Для этого вычтем координаты начальной точки A из координат конечной точки F. Координаты A — \((5; -6)\), координаты F — \((3; -4)\). x-компонента вектора \(\vec{AF}\) будет \(x_F — x_A = 3 — 5 = -2\). y-компонента вектора \(\vec{AF}\) будет \(y_F — y_A = -4 — (-6) = -4 + 6 = 2\). Таким образом, координаты вектора \(\vec{AF}\): \((-2; 2)\).

Наконец, найдем координаты вектора \(\vec{FD}\). Для этого вычтем координаты начальной точки F из координат конечной точки D. Координаты F — \((3; -4)\), координаты D — \((5; 0)\). x-компонента вектора \(\vec{FD}\) будет \(x_D — x_F = 5 — 3 = 2\). y-компонента вектора \(\vec{FD}\) будет \(y_D — y_F = 0 — (-4) = 0 + 4 = 4\). Таким образом, координаты вектора \(\vec{FD}\): \((2; 4)\).

Оцени решение