ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 459 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Модуль вектора \(\vec{a}\) равен 10. Его первая координата на 2 больше второй. Найдите координаты вектора \(\vec{a}\).

Дано: \(\vec{a}(x; y)\), \(|\vec{a}| = 10\), \(x = y + 2\).

Используем формулу модуля вектора: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
Подставляем данные: \(10 = \sqrt{(y + 2)^2 + y^2}\).
Возводим обе части в квадрат: \(10^2 = (y + 2)^2 + y^2\).
Получаем: \(100 = y^2 + 4y + 4 + y^2\).
Упрощаем: \(100 = 2y^2 + 4y + 4\).
Переносим все в одну сторону: \(2y^2 + 4y — 96 = 0\).
Делим на 2: \(y^2 + 2y — 48 = 0\).

Находим дискриминант \(D\):
\(D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196\).

Находим значения \(y\):
\(y_1 = \frac{-2 — \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 — 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8\).
\(y_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6\).

Находим соответствующие значения \(x\):
Для \(y_1 = -8\): \(x_1 = -8 + 2 = -6\).
Для \(y_2 = 6\): \(x_2 = 6 + 2 = 8\).

Ответ: \((-6; -8)\); \((8; 6)\).

Дано: вектор \(\vec{a}\) с координатами \((x; y)\). Известно, что его модуль равен \(10\), то есть \(|\vec{a}| = 10\). Также дано соотношение между его координатами: \(x = y + 2\).

Для нахождения координат вектора \(\vec{a}\) воспользуемся формулой для модуля вектора. Модуль вектора \(\vec{a}(x; y)\) определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Подставим известное значение модуля вектора в эту формулу: \(10 = \sqrt{x^2 + y^2}\).

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части этого уравнения в квадрат: \(10^2 = (\sqrt{x^2 + y^2})^2\). В результате получаем: \(100 = x^2 + y^2\).

Теперь используем данное соотношение между координатами \(x = y + 2\). Подставим это выражение для \(x\) в полученное уравнение: \(100 = (y + 2)^2 + y^2\).

Раскроем скобки в выражении \((y + 2)^2\), используя формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). В нашем случае \(a=y\) и \(b=2\), поэтому \((y + 2)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = y^2 + 4y + 4\).

Подставим раскрытое выражение обратно в уравнение: \(100 = (y^2 + 4y + 4) + y^2\).

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения: \(100 = 2y^2 + 4y + 4\).

Теперь перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида \(ay^2 + by + c = 0\): \(0 = 2y^2 + 4y + 4 — 100\). Это дает нам: \(2y^2 + 4y — 96 = 0\).

Для упрощения решения квадратного уравнения, заметим, что все коэффициенты \((2, 4, -96)\) делятся на \(2\). Разделим все уравнение на \(2\): \(\frac{2y^2}{2} + \frac{4y}{2} — \frac{96}{2} = \frac{0}{2}\). Получаем упрощенное квадратное уравнение: \(y^2 + 2y — 48 = 0\).

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(y\) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(D\) — дискриминант, вычисляемый по формуле \(D = b^2 — 4ac\). В нашем уравнении \(y^2 + 2y — 48 = 0\), коэффициенты равны: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -48\).

Вычислим дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-48)\).
\(D = 4 — (-192)\).
\(D = 4 + 192\).
\(D = 196\).

Теперь найдем значения \(y_1\) и \(y_2\):
\(y_1 = \frac{-2 — \sqrt{196}}{2 \cdot 1}\).
\(y_1 = \frac{-2 — 14}{2}\).
\(y_1 = \frac{-16}{2}\).
\(y_1 = -8\).

\(y_2 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 \cdot 1}\).
\(y_2 = \frac{-2 + 14}{2}\).
\(y_2 = \frac{12}{2}\).
\(y_2 = 6\).

Теперь, когда у нас есть два возможных значения для \(y\), найдем соответствующие значения для \(x\), используя исходное соотношение \(x = y + 2\).

Для \(y_1 = -8\):
\(x_1 = -8 + 2\).
\(x_1 = -6\).
Таким образом, первый возможный вектор имеет координаты \((-6; -8)\).

Для \(y_2 = 6\):
\(x_2 = 6 + 2\).
\(x_2 = 8\).
Таким образом, второй возможный вектор имеет координаты \((8; 6)\).

Ответ: \((-6; -8)\); \((8; 6)\).