ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 46 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Две стороны треугольника относятся как \(1 : 2\sqrt{3}\) и образуют угол, равный \(30^\circ\). Третья сторона треугольника равна \(2\sqrt{7}\) см. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Краткий ответ:

Дано: угол \(B = 30^\circ\), отношение сторон \(AB : BC = 1 : 2\sqrt{3}\), сторона \(AC = 2\sqrt{7}\).

Пусть \(AB = x\), тогда \(BC = 2\sqrt{3}x\).

По теореме косинусов: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\).

Подставляем: \((2\sqrt{7})^2 = x^2 + (2\sqrt{3}x)^2 — 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{3}x \cdot \cos 30^\circ\).

Вычисляем: \(28 = x^2 + 4 \cdot 3 \cdot x^2 — 4\sqrt{3} \cdot x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Получаем: \(28 = x^2 + 12x^2 — 4x^2 \cdot \frac{3}{2} = 13x^2 — 6x^2 = 7x^2\).

Отсюда: \(7x^2 = 28\), значит \(x^2 = 4\), \(x = 2\).

Тогда \(BC = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}\).

Ответ: \(AB = 2\) см, \(BC = 4\sqrt{3}\) см.

Подробный ответ:

У нас есть треугольник с углом \(B = 30^\circ\), и известно, что стороны \(AB\) и \(BC\) относятся как \(1 : 2\sqrt{3}\). Также дана сторона \(AC = 2\sqrt{7}\) сантиметров. Чтобы найти длины сторон \(AB\) и \(BC\), обозначим \(AB = x\). Тогда, исходя из отношения, \(BC = 2\sqrt{3} \cdot x\).

Для решения задачи применим теорему косинусов, которая говорит, что квадрат стороны \(AC\) равен сумме квадратов сторон \(AB\) и \(BC\) минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Запишем это так: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B\). Подставим наши переменные и значения: \((2\sqrt{7})^2 = x^2 + (2\sqrt{3}x)^2 — 2 \cdot x \cdot 2\sqrt{3}x \cdot \cos 30^\circ\).

Теперь вычислим каждое слагаемое. Сначала возведём в квадрат \(AC\): \((2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28\). Далее, \(x^2\) остаётся как есть, а \((2\sqrt{3}x)^2 = 4 \cdot 3 \cdot x^2 = 12x^2\). Косинус угла \(30^\circ\) равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), поэтому выражение \(2 \cdot x \cdot 2\sqrt{3}x \cdot \cos 30^\circ\) станет \(4\sqrt{3}x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4x^2 \cdot \frac{3}{2} = 6x^2\). Подставим всё в уравнение: \(28 = x^2 + 12x^2 — 6x^2\).

Сложим и вычтем: \(x^2 + 12x^2 = 13x^2\), минус \(6x^2\) даёт \(7x^2\). Значит, уравнение принимает вид \(28 = 7x^2\). Разделим обе части на 7: \(x^2 = 4\). Из этого следует, что \(x = 2\), так как длина стороны положительна.

Поскольку \(AB = x = 2\), найдём \(BC\) по пропорции: \(BC = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}\). Таким образом, стороны треугольника равны \(AB = 2\) см и \(BC = 4\sqrt{3}\) см.

Оцени решение