ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 460 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Модуль вектора \(\vec{c}\) равен 2, а его координаты равны. Найдите координаты вектора \(\vec{c}\).

Дан вектор \(\vec{c}(x; y)\). Известно, что его модуль \(|\vec{c}| = 2\) и координаты равны, то есть \(x = y\).

Модуль вектора находится по формуле \(|\vec{c}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\).

Подставим известные значения в формулу:
\(\sqrt{x^{2} + x^{2}} = 2\)
\(\sqrt{2x^{2}} = 2\)

Возведем обе части уравнения в квадрат:
\((\sqrt{2x^{2}})^{2} = 2^{2}\)
\(2x^{2} = 4\)

Разделим обе части на 2:
\(x^{2} = \frac{4}{2}\)
\(x^{2} = 2\)

Извлечем квадратный корень:
\(x = \pm\sqrt{2}\)

Так как \(y = x\), то получаем два возможных варианта для координат вектора:
Если \(x = \sqrt{2}\), то \(y = \sqrt{2}\). Вектор: \((\sqrt{2}; \sqrt{2})\).
Если \(x = -\sqrt{2}\), то \(y = -\sqrt{2}\). Вектор: \((-\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).

Ответ: \((\sqrt{2}; \sqrt{2})\); \((-\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).

Дан вектор \(\vec{c}\) с координатами \((x; y)\).
Известно, что его модуль \(|\vec{c}|\) равен 2.
Также дано условие, что координаты вектора равны между собой, то есть \(x = y\).

Для нахождения координат вектора, мы используем формулу для вычисления модуля вектора в двумерном пространстве. Модуль вектора \(\vec{c}(x; y)\) определяется как квадратный корень из суммы квадратов его координат: \(|\vec{c}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\).

Подставим заданное значение модуля вектора в эту формулу. Поскольку \(|\vec{c}| = 2\), наше уравнение примет вид:
\(\sqrt{x^{2} + y^{2}} = 2\).

Теперь воспользуемся вторым условием задачи, которое гласит, что \(x = y\). Мы можем заменить \(y\) на \(x\) в уравнении модуля. Это позволит нам получить уравнение только с одной неизвестной переменной \(x\):
\(\sqrt{x^{2} + x^{2}} = 2\).

Далее, упростим выражение под знаком квадратного корня, сложив подобные члены:
\(x^{2} + x^{2} = 2x^{2}\).
Таким образом, уравнение становится:
\(\sqrt{2x^{2}} = 2\).

Чтобы избавиться от квадратного корня и решить уравнение относительно \(x\), возведем обе части уравнения в квадрат. Это действие не изменит равенство:
\((\sqrt{2x^{2}})^{2} = (2)^{2}\).
После возведения в квадрат, левая часть уравнения станет \(2x^{2}\), а правая часть \(4\):
\(2x^{2} = 4\).

Теперь необходимо найти значение \(x^{2}\). Для этого разделим обе части уравнения на 2:
\(x^{2} = \frac{4}{2}\).
Выполнив деление, получаем:
\(x^{2} = 2\).

Для нахождения самого значения \(x\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два решения: одно положительное и одно отрицательное:
\(x = \pm\sqrt{2}\).
Это означает, что \(x\) может быть либо \(\sqrt{2}\), либо \(-\sqrt{2}\).

Наконец, используя условие \(y = x\), определим соответствующие значения \(y\) для каждого найденного значения \(x\).
Если \(x = \sqrt{2}\), то \(y\) также равно \(\sqrt{2}\). В этом случае координаты вектора будут \((\sqrt{2}; \sqrt{2})\).
Если \(x = -\sqrt{2}\), то \(y\) также равно \(-\sqrt{2}\). В этом случае координаты вектора будут \((-\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).

Таким образом, существуют два возможных вектора, удовлетворяющих заданным условиям.

Ответ: \((\sqrt{2}; \sqrt{2})\); \((-\sqrt{2}; -\sqrt{2})\).