ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 461 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точки \(A(2; 5)\) и \(B(7; 5)\) — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора \(\vec{BD}\) равен 13. Найдите координаты точек C и D.

Краткий ответ:

Дан прямоугольник ABCD с вершинами \(A(2; 5)\) и \(B(7; 5)\), и длиной диагонали \(|BD| = 13\).

1) Координаты точки D:
Поскольку точки \(A(2; 5)\) и \(B(7; 5)\) имеют одинаковую y-координату, сторона AB является горизонтальным отрезком. В прямоугольнике сторона AD перпендикулярна стороне AB, поэтому AD является вертикальным отрезком. Это означает, что x-координата точки D совпадает с x-координатой точки A. Таким образом, \(x_D = 2\). Пусть координаты точки D будут \((2; y)\).
Используем формулу расстояния между точками для диагонали BD:
\(|BD|^2 = (x_D — x_B)^2 + (y_D — y_B)^2\)
\(13^2 = (2 — 7)^2 + (y — 5)^2\)
\(169 = (-5)^2 + (y — 5)^2\)
\(169 = 25 + y^2 — 10y + 25\)
\(169 = y^2 — 10y + 50\)
Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(y^2 — 10y + 50 — 169 = 0\)
\(y^2 — 10y — 119 = 0\)
Для нахождения \(y\) используем формулу корней квадратного уравнения через дискриминант:
\(D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-119) = 100 + 476 = 576\).
Тогда \(y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-10) \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm 24}{2}\).
Получаем два возможных значения для \(y\):
\(y_1 = \frac{10 — 24}{2} = \frac{-14}{2} = -7\)
\(y_2 = \frac{10 + 24}{2} = \frac{34}{2} = 17\)
Таким образом, возможные координаты точки D: \(D(2; -7)\) или \(D(2; 17)\).

2) Координаты точки C:
В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны, что означает, что вектор \(\vec{AD}\) равен вектору \(\vec{BC}\).
Координаты вектора \(\vec{AD}\) равны \((x_D — x_A; y_D — y_A) = (x_D — 2; y_D — 5)\).
Координаты вектора \(\vec{BC}\) равны \((x_C — x_B; y_C — y_B) = (x_C — 7; y_C — 5)\).
Приравниваем соответствующие компоненты векторов:
\(x_C — 7 = x_D — 2\)
\(y_C — 5 = y_D — 5\)
Из первого уравнения: \(x_C = x_D — 2 + 7 = x_D + 5\). Поскольку \(x_D = 2\), то \(x_C = 2 + 5 = 7\).
Из второго уравнения: \(y_C = y_D\).
Следовательно, если \(D(2; -7)\), то \(C(7; -7)\).
Если \(D(2; 17)\), то \(C(7; 17)\).

Ответ: \(C(7; -7), D(2; -7)\) или \(C(7; 17), D(2; 17)\).

Подробный ответ:

Дан прямоугольник ABCD с заданными координатами вершин \(A(2; 5)\) и \(B(7; 5)\), а также длиной диагонали \(|BD| = 13\). Требуется найти координаты вершин C и D.

Определение координат точки D.
Поскольку точки \(A(2; 5)\) и \(B(7; 5)\) имеют одинаковую y-координату, отрезок AB является горизонтальным. В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, следовательно, сторона AD должна быть вертикальной. Это означает, что x-координата точки D совпадает с x-координатой точки A. Таким образом, \(x_D = 2\). Пусть неизвестная y-координата точки D будет \(y_D\), то есть \(D(2; y_D)\).

Для нахождения \(y_D\) используем формулу расстояния между двумя точками для диагонали BD. Известны координаты точки \(B(7; 5)\) и длина диагонали \(|BD| = 13\). Формула расстояния между двумя точками \((x_1; y_1)\) и \((x_2; y_2)\) выглядит как \(\sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).
Подставляем известные значения в формулу расстояния для точек B и D:
\(|BD|^2 = (x_D — x_B)^2 + (y_D — y_B)^2\)
\(13^2 = (2 — 7)^2 + (y_D — 5)^2\)
Вычисляем квадраты и разности:
\(169 = (-5)^2 + (y_D — 5)^2\)
\(169 = 25 + (y_D — 5)^2\)
Вычитаем 25 из обеих частей уравнения:
\(169 — 25 = (y_D — 5)^2\)
\(144 = (y_D — 5)^2\)
Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения. При этом необходимо учесть как положительный, так и отрицательный корень:
\(y_D — 5 = \pm\sqrt{144}\)
\(y_D — 5 = \pm 12\)
Получаем два возможных линейных уравнения для \(y_D\):
Случай 1: \(y_D — 5 = 12\)
\(y_D = 12 + 5\)
\(y_D = 17\)
В этом случае координаты точки D: \(D_1(2; 17)\).

Случай 2: \(y_D — 5 = -12\)
\(y_D = -12 + 5\)
\(y_D = -7\)
В этом случае координаты точки D: \(D_2(2; -7)\).

Определение координат точки C.
В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что вектор, идущий от A к D, \(\vec{AD}\), равен вектору, идущему от B к C, \(\vec{BC}\).
Координаты вектора \(\vec{AD}\) вычисляются как \((x_D — x_A; y_D — y_A)\).
Координаты вектора \(\vec{BC}\) вычисляются как \((x_C — x_B; y_C — y_B)\).
Мы знаем, что \(A(2; 5)\) и \(B(7; 5)\).
Приравниваем компоненты векторов \(\vec{AD}\) и \(\vec{BC}\):
\(x_D — x_A = x_C — x_B\)
\(y_D — y_A = y_C — y_B\)

Подставляем известные x-координаты:
\(x_D — 2 = x_C — 7\)
Из этого уравнения выражаем \(x_C\):
\(x_C = x_D — 2 + 7\)
\(x_C = x_D + 5\)
Поскольку мы уже определили, что \(x_D = 2\), то:
\(x_C = 2 + 5\)
\(x_C = 7\)
Это подтверждает, что x-координата точки C равна x-координате точки B, что логично, так как BC является вертикальной стороной, параллельной AD.

Теперь подставляем известные y-координаты:
\(y_D — 5 = y_C — 5\)
Прибавляем 5 к обеим частям уравнения:
\(y_C = y_D — 5 + 5\)
\(y_C = y_D\)
Таким образом, y-координата точки C совпадает с y-координатой точки D.

Рассмотрим два случая, исходя из найденных координат точки D:

Случай 1: Если \(D_1(2; 17)\).
Тогда \(x_C = 7\) и \(y_C = y_{D1} = 17\).
Координаты точки C: \(C_1(7; 17)\).

Случай 2: Если \(D_2(2; -7)\).
Тогда \(x_C = 7\) и \(y_C = y_{D2} = -7\).
Координаты точки C: \(C_2(7; -7)\).

Ответ: \(C(7; -7), D(2; -7)\) или \(C(7; 17), D(2; 17)\).

Оцени решение