ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 462 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Точки \(A(1; 2)\) и \(D(1; -6)\) — вершины прямоугольника ABCD. Модуль вектора \(\vec{AC}\) равен 17. Найдите координаты вершин B и C.

Краткий ответ:

Дано: прямоугольник ABCD, \(A(1; 2)\), \(D(1; -6)\), \(|AC| = 17\).

Так как точки \(A(1; 2)\) и \(D(1; -6)\) имеют одинаковую x-координату, сторона AD является вертикальным отрезком.
В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, стороны AB и DC должны быть горизонтальными.
Это означает, что y-координата точки B равна y-координате точки A, то есть \(y_B = 2\).
И y-координата точки C равна y-координате точки D, то есть \(y_C = -6\).
Таким образом, мы ищем точки \(B(x_B; 2)\) и \(C(x_C; -6)\).

1. Найдем координаты точки C.
Используем формулу расстояния между точками A и C:
\(|AC|^2 = (x_C — x_A)^2 + (y_C — y_A)^2\)
\(17^2 = (x_C — 1)^2 + (-6 — 2)^2\)
\(289 = (x_C — 1)^2 + (-8)^2\)
\(289 = (x_C — 1)^2 + 64\)
\((x_C — 1)^2 = 289 — 64\)
\((x_C — 1)^2 = 225\)
Извлекая квадратный корень, получаем:
\(x_C — 1 = \pm \sqrt{225}\)
\(x_C — 1 = \pm 15\)
Отсюда два возможных значения для \(x_C\):
\(x_C = 1 + 15 = 16\) или \(x_C = 1 — 15 = -14\).
Таким образом, точка C может быть \(C(16; -6)\) или \(C(-14; -6)\).

2. Найдем координаты точки B.
В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны. Это означает, что вектор \(\vec{AB}\) равен вектору \(\vec{DC}\).
Вектор \(\vec{AB}\) имеет координаты \((x_B — x_A; y_B — y_A) = (x_B — 1; 2 — 2) = (x_B — 1; 0)\).

Случай 1: Если \(C(16; -6)\).
Вектор \(\vec{DC}\) имеет координаты \((x_C — x_D; y_C — y_D) = (16 — 1; -6 — (-6)) = (15; 0)\).
Приравнивая векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\):
\((x_B — 1; 0) = (15; 0)\)
\(x_B — 1 = 15\)
\(x_B = 16\)
В этом случае координаты точки B будут \(B(16; 2)\).

Случай 2: Если \(C(-14; -6)\).
Вектор \(\vec{DC}\) имеет координаты \((x_C — x_D; y_C — y_D) = (-14 — 1; -6 — (-6)) = (-15; 0)\).
Приравнивая векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\):
\((x_B — 1; 0) = (-15; 0)\)
\(x_B — 1 = -15\)
\(x_B = -14\)
В этом случае координаты точки B будут \(B(-14; 2)\).

Окончательный ответ: \(B(-14; 2), C(-14; -6)\) или \(B(16; 2), C(16; -6)\).

Подробный ответ:

Дано: прямоугольник ABCD, \(A(1; 2)\), \(D(1; -6)\), длина диагонали \(|AC| = 17\). Требуется найти координаты вершин B и C.

Первым шагом проанализируем данные координаты точек A и D. Мы видим, что x-координаты обеих точек одинаковы: \(x_A = 1\) и \(x_D = 1\). Это означает, что сторона AD прямоугольника является вертикальным отрезком. Длина стороны AD может быть найдена как абсолютная разность y-координат: \(|AD| = |y_D — y_A| = |-6 — 2| = |-8| = 8\).

В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Поскольку сторона AD является вертикальной, то стороны AB и DC, которые примыкают к AD, должны быть горизонтальными. Если сторона горизонтальна, это означает, что все точки на этой стороне имеют одинаковую y-координату.
Для стороны AB: так как она горизонтальна и проходит через точку A \((1; 2)\), то y-координата точки B должна быть такой же, как y-координата точки A. Следовательно, \(y_B = y_A = 2\).
Для стороны DC: так как она горизонтальна и проходит через точку D \((1; -6)\), то y-координата точки C должна быть такой же, как y-координата точки D. Следовательно, \(y_C = y_D = -6\).
Таким образом, мы уже знаем y-координаты точек B и C: \(B(x_B; 2)\) и \(C(x_C; -6)\). Наша задача теперь сводится к нахождению x-координат \(x_B\) и \(x_C\).

Вторым шагом используем информацию о длине диагонали AC. Нам дано, что \(|AC| = 17\). Мы знаем координаты точки A \((1; 2)\) и частичные координаты точки C \((x_C; -6)\). Применим формулу расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{(x_2 — x_1)^2 + (y_2 — y_1)^2}\).
Подставим известные значения для точек A и C:
\(17 = \sqrt{(x_C — 1)^2 + (-6 — 2)^2}\)
Упростим выражение под корнем:
\(17 = \sqrt{(x_C — 1)^2 + (-8)^2}\)
\(17 = \sqrt{(x_C — 1)^2 + 64}\)
Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат:
\(17^2 = (x_C — 1)^2 + 64\)
\(289 = (x_C — 1)^2 + 64\)
Теперь вычтем 64 из обеих частей уравнения, чтобы выделить член с \(x_C\):
\((x_C — 1)^2 = 289 — 64\)
\((x_C — 1)^2 = 225\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что квадратный корень имеет два решения: положительное и отрицательное:
\(x_C — 1 = \pm \sqrt{225}\)
\(x_C — 1 = \pm 15\)
Это дает нам два возможных значения для \(x_C\):
Случай 1: \(x_C — 1 = 15 \Rightarrow x_C = 15 + 1 \Rightarrow x_C = 16\). В этом случае координаты точки C будут \(C(16; -6)\).
Случай 2: \(x_C — 1 = -15 \Rightarrow x_C = -15 + 1 \Rightarrow x_C = -14\). В этом случае координаты точки C будут \(C(-14; -6)\).
Оба этих случая являются допустимыми, и для каждого из них мы найдем соответствующие координаты точки B.

Третьим шагом найдем x-координату точки B для каждого из двух случаев для C. В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что вектор \(\vec{AB}\) должен быть равен вектору \(\vec{DC}\).
Сначала найдем компоненты вектора \(\vec{AB}\). Точка A имеет координаты \((1; 2)\), а точка B имеет координаты \((x_B; 2)\).
\(\vec{AB} = (x_B — x_A; y_B — y_A) = (x_B — 1; 2 — 2) = (x_B — 1; 0)\).
Как и ожидалось, y-компонента равна 0, что подтверждает, что AB является горизонтальным отрезком.

Теперь рассмотрим каждый из случаев для точки C:

Случай 3a: Если \(C(16; -6)\).
Найдем компоненты вектора \(\vec{DC}\). Точка D имеет координаты \((1; -6)\), а точка C имеет координаты \((16; -6)\).
\(\vec{DC} = (x_C — x_D; y_C — y_D) = (16 — 1; -6 — (-6)) = (15; 0)\).
Теперь приравняем компоненты вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\):
\((x_B — 1; 0) = (15; 0)\)
Для равенства векторов их соответствующие компоненты должны быть равны. Приравниваем x-компоненты:
\(x_B — 1 = 15\)
\(x_B = 15 + 1\)
\(x_B = 16\)
Таким образом, если \(C(16; -6)\), то координаты точки B будут \(B(16; 2)\).

Случай 3b: Если \(C(-14; -6)\).
Найдем компоненты вектора \(\vec{DC}\). Точка D имеет координаты \((1; -6)\), а точка C имеет координаты \((-14; -6)\).
\(\vec{DC} = (x_C — x_D; y_C — y_D) = (-14 — 1; -6 — (-6)) = (-15; 0)\).
Теперь приравняем компоненты вектора \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\):
\((x_B — 1; 0) = (-15; 0)\)
Приравниваем x-компоненты:
\(x_B — 1 = -15\)
\(x_B = -15 + 1\)
\(x_B = -14\)
Таким образом, если \(C(-14; -6)\), то координаты точки B будут \(B(-14; 2)\).

Окончательный ответ: \(B(-14; 2), C(-14; -6)\) или \(B(16; 2), C(16; -6)\).

Оцени решение