ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 464 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Периметр треугольника равен 48 см, а его биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки длиной 5 см и 15 см. Найдите стороны треугольника.

\(AC = AD + CD = 5 + 15 = 20\) см.

По свойству биссектрисы угла треугольника: \(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}\).
Подставляем значения: \(\frac{AB}{BC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\).
Отсюда \(BC = 3AB\).

Периметр треугольника \(P_{ABC} = AB + BC + AC\).
Подставляем известные значения: \(48 = AB + 3AB + 20\).
Упрощаем: \(48 = 4AB + 20\).
Вычитаем 20 из обеих частей: \(4AB = 48 — 20\).
Получаем \(4AB = 28\).
Делим на 4: \(AB = \frac{28}{4} = 7\) см.

Находим \(BC\): \(BC = 3 \cdot AB = 3 \cdot 7 = 21\) см.

7 см; 21 см; 20 см.

Первым шагом в решении данной задачи является определение длины стороны \(AC\). Известно, что точка \(D\) лежит на стороне \(AC\), и эта сторона состоит из двух отрезков: \(AD\) и \(CD\). Соответственно, длина стороны \(AC\) вычисляется как сумма длин этих отрезков. Подставляя заданные значения \(AD = 5\) см и \(CD = 15\) см, получаем \(AC = AD + CD = 5 + 15 = 20\) см.

Далее, мы используем свойство биссектрисы угла треугольника. Теорема о биссектрисе угла треугольника гласит, что биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае, \(BD\) является биссектрисой угла \(B\) треугольника \(ABC\). Это означает, что отношение длин сторон \(AB\) и \(BC\) равно отношению длин отрезков \(AD\) и \(CD\). Записываем это в виде пропорции: \(\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{CD}\). Подставляя известные значения \(AD = 5\) и \(CD = 15\), получаем \(\frac{AB}{BC} = \frac{5}{15}\). Упрощая дробь \(\frac{5}{15}\), получаем \(\frac{1}{3}\). Таким образом, \(\frac{AB}{BC} = \frac{1}{3}\). Из этого соотношения мы можем выразить длину стороны \(BC\) через длину стороны \(AB\), умножив обе части на \(3BC\): \(3AB = BC\), или \(BC = 3AB\).

Теперь, когда у нас есть выражения для всех сторон (или их частичные значения), мы можем использовать формулу периметра треугольника. Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Для треугольника \(ABC\) периметр \(P_{ABC} = AB + BC + AC\). Нам дан периметр \(P_{ABC} = 48\) см. Подставляем это значение, а также выражение для \(BC\) (\(3AB\)) и найденную длину \(AC\) (\(20\) см) в формулу периметра: \(48 = AB + 3AB + 20\).

Следующим шагом является решение полученного уравнения относительно \(AB\). Сначала объединяем подобные члены в правой части уравнения: \(AB + 3AB\) равно \(4AB\). Уравнение принимает вид: \(48 = 4AB + 20\). Чтобы изолировать член с \(AB\), вычитаем \(20\) из обеих частей уравнения: \(48 — 20 = 4AB\). Выполняя вычитание, получаем \(28 = 4AB\). Наконец, чтобы найти значение \(AB\), делим обе части уравнения на \(4\): \(AB = \frac{28}{4}\). Выполняя деление, находим, что \(AB = 7\) см.

После того как мы нашли длину стороны \(AB\), мы можем легко найти длину стороны \(BC\), используя ранее выведенное соотношение \(BC = 3AB\). Подставляем найденное значение \(AB = 7\) см в это соотношение: \(BC = 3 \cdot 7\). Выполняя умножение, получаем \(BC = 21\) см.

Таким образом, длины сторон треугольника \(ABC\) составляют \(AB = 7\) см, \(BC = 21\) см и \(AC = 20\) см.

7 см; 21 см; 20 см.