ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 465 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Боковая сторона равнобокой трапеции, описанной около окружности, равна \(a\), а один из углов — \(60^\circ\). Найдите площадь трапеции.

Дано: равнобокая трапеция \(ABCD\), описанная около окружности. Боковая сторона \(AB = CD = a\), угол \( \angle A = 60^\circ \).
Найти: площадь трапеции \( S_{ABCD} \).

Решение:
1) В трапеции \(ABCD\):
Так как трапеция равнобокая, \( \angle A = \angle D = 60^\circ \).
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна \(180^\circ\), поэтому \( \angle B = 180^\circ — \angle A = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \).
Так как трапеция описана около окружности, сумма противоположных сторон равна: \( BC + AD = AB + CD = a + a = 2a \).
Центр вписанной окружности \(O\) лежит на пересечении биссектрис углов. \(AO\) — биссектриса \( \angle A \), поэтому \( \angle BAO = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \).
\(BO\) — биссектриса \( \angle B \), поэтому \( \angle ABO = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ \).

2) Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \):
Сумма углов в треугольнике \( \triangle AOB \) равна \(180^\circ\). \( \angle AOB = 180^\circ — \angle BAO — \angle ABO = 180^\circ — 30^\circ — 60^\circ = 90^\circ \).
Таким образом, \( \triangle AOB \) — прямоугольный треугольник.
Высота \(OH\) в \( \triangle AOB \), опущенная на \(AB\), является радиусом вписанной окружности \(r\).
Из прямоугольного треугольника \( \triangle AOB \):
\( BO = AB \cdot \sin(\angle BAO) = a \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2} \).
\( AO = AB \cdot \cos(\angle BAO) = a \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
Площадь \( \triangle AOB \) равна \( S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{8} \).
Также \( S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH \). Отсюда \( OH = \frac{2S_{AOB}}{AB} = \frac{2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{8}}{a} = \frac{\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{a} = \frac{a\sqrt{3}}{4} \).

3) В трапеции \(ABCD\):
Высота трапеции \(h\) равна двум радиусам вписанной окружности: \( h = 2 \cdot OH = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
Площадь трапеции \( S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h \).
Подставляем значения: \( S_{ABCD} = \frac{2a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} \)

Дано: равнобокая трапеция \(ABCD\), описанная около окружности. Боковая сторона \(AB = CD = a\), угол \( \angle A = 60^\circ \).
Найти: площадь трапеции \( S_{ABCD} \).

Решение:
1) Анализируем свойства равнобокой трапеции и ее углов.
Поскольку трапеция \(ABCD\) равнобокая, углы при основании равны, то есть \( \angle A = \angle D = 60^\circ \).
Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, в трапеции равна \(180^\circ\). Таким образом, \( \angle B = 180^\circ — \angle A = 180^\circ — 60^\circ = 120^\circ \). Аналогично, \( \angle C = 120^\circ \).

2) Используем свойство трапеции, описанной около окружности.
Для любого четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Следовательно, для трапеции \(ABCD\) выполняется равенство: \( BC + AD = AB + CD \).
Подставляя известные значения боковых сторон, получаем: \( BC + AD = a + a = 2a \). Это соотношение будет использовано для вычисления площади трапеции.

3) Определяем радиус вписанной окружности, который напрямую связан с высотой трапеции.
Центр вписанной окружности \(O\) является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.
Рассмотрим биссектрису \(AO\) угла \( \angle A \). Поскольку \( \angle A = 60^\circ \), то \( \angle BAO = \frac{1}{2} \angle A = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ \).
Рассмотрим биссектрису \(BO\) угла \( \angle B \). Поскольку \( \angle B = 120^\circ \), то \( \angle ABO = \frac{1}{2} \angle B = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). Найдем угол \( \angle AOB \):
\( \angle AOB = 180^\circ — \angle BAO — \angle ABO = 180^\circ — 30^\circ — 60^\circ = 90^\circ \).
Это означает, что треугольник \( \triangle AOB \) является прямоугольным с прямым углом при вершине \(O\).

Высота трапеции \(h\) равна диаметру вписанной окружности, то есть \(h = 2r\), где \(r\) — радиус вписанной окружности. В прямоугольном треугольнике \( \triangle AOB \), высота \(OH\), опущенная из вершины прямого угла \(O\) на гипотенузу \(AB\), является радиусом вписанной окружности \(r\).
Для нахождения \(r\) используем тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике \( \triangle AOB \).
\( \sin(\angle BAO) = \frac{BO}{AB} \), откуда \( BO = AB \cdot \sin(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a}{2} \).
\( \cos(\angle BAO) = \frac{AO}{AB} \), откуда \( AO = AB \cdot \cos(30^\circ) = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
Площадь прямоугольного треугольника \( \triangle AOB \) может быть найдена как половина произведения его катетов:
\( S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AO \cdot BO = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{8} \).
Также площадь \( \triangle AOB \) может быть выражена через основание \(AB\) и высоту \(OH\) (радиус \(r\)): \( S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot OH = \frac{1}{2} \cdot a \cdot r \).
Приравнивая два выражения для площади \( \triangle AOB \):
\( \frac{1}{2} \cdot a \cdot r = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{8} \).
Решая относительно \(r\):
\( r = \frac{2 \cdot a^{2}\sqrt{3}}{8a} = \frac{a\sqrt{3}}{4} \).
Высота трапеции \(h\) равна удвоенному радиусу:
\( h = 2r = 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).

4) Вычисляем площадь трапеции.
Формула площади трапеции: \( S = \frac{\text{сумма оснований}}{2} \cdot \text{высота} \).
Для трапеции \(ABCD\): \( S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot h \).
Из пункта 2 мы знаем, что \( BC + AD = 2a \).
Из пункта 3 мы нашли, что \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
Подставляем эти значения в формулу площади:
\( S_{ABCD} = \frac{2a}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: \( \frac{a^{2}\sqrt{3}}{2} \)