ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 47 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Сумма двух сторон треугольника, образующих угол \(120^\circ\), равна 8 см, а длина третьей стороны составляет 7 см. Найдите неизвестные стороны треугольника.
Дано: \( \angle B = 120^\circ \), \( AB + BC = 8 \), \( AC = 7 \).
По теореме косинусов: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).
Подставляем: \( 7^2 = AB^2 + (8 — AB)^2 — 2 \cdot AB \cdot (8 — AB) \cdot \cos 120^\circ \).
Так как \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), получаем:
\( 49 = AB^2 + (8 — AB)^2 + AB (8 — AB) \).
Раскрываем скобки:
\( 49 = AB^2 + 64 — 16 AB + AB^2 + 8 AB — AB^2 \).
Собираем похожие члены:
\( 49 = AB^2 + 64 — 8 AB \).
Переносим всё в левую часть:
\( AB^2 — 8 AB + 15 = 0 \).
Дискриминант:
\( D = 8^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4 \).
Корни уравнения:
\( AB_1 = \frac{8 — 2}{2} = 3 \), \( AB_2 = \frac{8 + 2}{2} = 5 \).
Находим \( BC \):
\( BC_1 = 8 — 3 = 5 \), \( BC_2 = 8 — 5 = 3 \).
Ответ: \( AB = 3 \), \( BC = 5 \) или \( AB = 5 \), \( BC = 3 \).
В задаче нам даны три элемента треугольника: угол \( \angle B = 120^\circ \), сумма двух сторон \( AB + BC = 8 \) и длина стороны \( AC = 7 \). Нужно найти длины сторон \( AB \) и \( BC \). Для этого воспользуемся теоремой косинусов, которая связывает стороны треугольника и угол между ними. Теорема косинусов утверждает, что квадрат стороны напротив угла равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус данного угла. В нашем случае формула выглядит так: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).
Подставим известные значения: \( AC = 7 \), \( \angle B = 120^\circ \) и \( BC = 8 — AB \) (так как сумма \( AB + BC = 8 \)). Тогда уравнение принимает вид: \( 7^2 = AB^2 + (8 — AB)^2 — 2 \cdot AB \cdot (8 — AB) \cdot \cos 120^\circ \). Далее нужно упростить это уравнение. Косинус угла \( 120^\circ \) равен \( -\frac{1}{2} \), поэтому уравнение преобразуется в \( 49 = AB^2 + (8 — AB)^2 + AB \cdot (8 — AB) \). Теперь раскроем скобки в квадрате: \( (8 — AB)^2 = 64 — 16 AB + AB^2 \). Подставим это обратно: \( 49 = AB^2 + 64 — 16 AB + AB^2 + 8 AB — AB^2 \).
Соберём подобные члены. Сумма квадратов \( AB^2 + AB^2 — AB^2 \) равна \( AB^2 \), а сумма коэффициентов при \( AB \) равна \( -16 AB + 8 AB = -8 AB \). Получаем уравнение: \( 49 = AB^2 + 64 — 8 AB \). Чтобы решить уравнение, перенесём все члены в левую часть: \( AB^2 — 8 AB + 64 — 49 = 0 \), то есть \( AB^2 — 8 AB + 15 = 0 \). Это квадратное уравнение, которое решается с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант: \( D = (-8)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 — 60 = 4 \). Корни уравнения находятся по формуле \( AB = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \).
Таким образом, первый корень равен \( AB_1 = \frac{8 — 2}{2} = 3 \), второй корень — \( AB_2 = \frac{8 + 2}{2} = 5 \). Теперь найдём соответствующие значения \( BC \) из условия \( BC = 8 — AB \). Для первого корня: \( BC_1 = 8 — 3 = 5 \), для второго: \( BC_2 = 8 — 5 = 3 \). Получаем два варианта решения, которые взаимозаменяемы по длинам сторон \( AB \) и \( BC \). Итоговый ответ: \( AB = 3 \), \( BC = 5 \) или \( AB = 5 \), \( BC = 3 \).
