ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 470 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Начертите параллелограмм ABCD. Постройте векторы \(\vec{BC} + \vec{BA}\), \(\vec{BC} + \vec{DC}\), \(\vec{BC} + \vec{CA}\), \(\vec{BC} + \vec{AD}\), \(\vec{AC} + \vec{DB}\).

Краткий ответ:

1. \(\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BC} + \vec{BA}\).
2. \(\vec{AC} = \vec{AD} + \vec{DC} = \vec{BC} + \vec{DC}\).
3. \(\vec{BA} = \vec{BC} + \vec{CA}\).
4. \(\vec{BE} = \vec{BC} + \vec{CE} = \vec{BC} + \vec{AD}\).
5. \(\vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CE} = \vec{AC} + \vec{DB}\).

Подробный ответ:

1. Для сложения векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{BA}\) мы используем правило параллелограмма, так как оба вектора начинаются из одной точки B. Если построить параллелограмм на этих векторах как на смежных сторонах, то их сумма будет вектором, представляющим диагональ этого параллелограмма, исходящую из общей начальной точки B. В параллелограмме ABCD, диагональ, исходящая из вершины B, это вектор \(\vec{BD}\). Следовательно, \(\vec{BC} + \vec{BA} = \vec{BD}\).

2. Для сложения векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{DC}\) мы можем использовать свойство параллелограмма, что противоположные стороны равны и параллельны, то есть вектор \(\vec{DC}\) равен вектору \(\vec{AB}\). Тогда сумма становится \(\vec{BC} + \vec{AB}\). По свойству коммутативности сложения векторов, это можно переписать как \(\vec{AB} + \vec{BC}\). Теперь мы можем применить правило треугольника: конец вектора \(\vec{AB}\) совпадает с началом вектора \(\vec{BC}\) (точка B). Их сумма будет вектором, идущим от начала первого вектора (точки A) к концу второго вектора (точки C). Таким образом, \(\vec{BC} + \vec{DC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).

3. Для сложения векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{CA}\) мы напрямую используем правило треугольника. Конец первого вектора \(\vec{BC}\) (точка C) совпадает с началом второго вектора \(\vec{CA}\) (точка C). Поэтому их сумма будет вектором, идущим от начала первого вектора (точки B) к концу второго вектора (точки A). Следовательно, \(\vec{BC} + \vec{CA} = \vec{BA}\).

4. Для сложения векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\) мы используем свойство параллелограмма, что противоположные стороны равны и параллельны, то есть вектор \(\vec{AD}\) равен вектору \(\vec{BC}\). Подставляя это в сумму, получаем \(\vec{BC} + \vec{BC}\). Сложение вектора с самим собой приводит к вектору, направленному в ту же сторону, но с удвоенной длиной. Таким образом, \(\vec{BC} + \vec{AD} = 2\vec{BC}\).

5. Для сложения векторов \(\vec{AC}\) и \(\vec{DB}\) мы можем разложить каждый вектор на составляющие, используя правило треугольника. Вектор \(\vec{AC}\) можно представить как \(\vec{AB} + \vec{BC}\). Вектор \(\vec{DB}\) можно представить как \(\vec{DA} + \vec{AB}\). Теперь сложим эти разложения: \(\vec{AC} + \vec{DB} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{DA} + \vec{AB})\). Перегруппируем слагаемые: \(\vec{AC} + \vec{DB} = \vec{AB} + \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{DA}\). Объединяем одинаковые векторы: \(\vec{AC} + \vec{DB} = 2\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{DA}\). В параллелограмме вектор \(\vec{DA}\) является противоположным вектору \(\vec{AD}\), то есть \(\vec{DA} = -\vec{AD}\). Также, вектор \(\vec{AD}\) равен вектору \(\vec{BC}\). Следовательно, \(\vec{DA} = -\vec{BC}\). Подставляем это в наше выражение: \(\vec{AC} + \vec{DB} = 2\vec{AB} + \vec{BC} + (-\vec{BC})\). Векторы \(\vec{BC}\) и \(-\vec{BC}\) взаимно уничтожаются. Таким образом, \(\vec{AC} + \vec{DB} = 2\vec{AB}\).

Оцени решение