ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 472 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Начертите параллелограмм ABCD. Постройте векторы \(\vec{BA} — \vec{BC}\), \(\vec{BA} — \vec{DA}\), \(\vec{BA} — \vec{AD}\), \(\vec{AC} — \vec{DB}\).
Вектор \(\vec{BA} — \vec{BC} = \vec{CA}\).
Вектор \(\vec{BA} — \vec{DA} = \vec{BD}\).
Вектор \(\vec{BA} — \vec{AD} = \vec{CA}\).
Вектор \(\vec{AC} — \vec{DB} = \vec{AE}\).
Для выполнения операций с векторами в параллелограмме ABCD, будем использовать основные правила сложения и вычитания векторов, а также свойства параллелограмма, такие как равенство противоположных сторон и параллельность.
Рассмотрим вектор \(\vec{BA} — \vec{BC}\). Оба вектора \(\vec{BA}\) и \(\vec{BC}\) имеют общую начальную точку B. Согласно правилу вычитания векторов, если два вектора исходят из одной точки, то их разность \(\vec{X} — \vec{Y}\) равна вектору, идущему от конечной точки второго вектора к конечной точке первого вектора. В данном случае, конечная точка второго вектора \(\vec{BC}\) это C, а конечная точка первого вектора \(\vec{BA}\) это A. Следовательно, \(\vec{BA} — \vec{BC} = \vec{CA}\).
Далее рассмотрим вектор \(\vec{BA} — \vec{DA}\). Вычитание вектора можно представить как сложение с противоположным вектором: \(\vec{BA} — \vec{DA} = \vec{BA} + (-\vec{DA})\). Вектор \(-\vec{DA}\) имеет ту же длину, что и \(\vec{DA}\), но противоположное направление, то есть \(-\vec{DA} = \vec{AD}\). Таким образом, выражение преобразуется в \(\vec{BA} + \vec{AD}\). По правилу треугольника для сложения векторов, если конечная точка первого вектора совпадает с начальной точкой второго вектора, то сумма является вектором, идущим от начальной точки первого вектора к конечной точке второго. Здесь A является конечной точкой \(\vec{BA}\) и начальной точкой \(\vec{AD}\). Следовательно, \(\vec{BA} + \vec{AD} = \vec{BD}\).
Теперь рассмотрим вектор \(\vec{BA} — \vec{AD}\). Аналогично предыдущему случаю, преобразуем вычитание в сложение с противоположным вектором: \(\vec{BA} — \vec{AD} = \vec{BA} + (-\vec{AD})\). В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине, поэтому вектор \(\vec{AD}\) равен вектору \(\vec{BC}\). Следовательно, \(-\vec{AD} = -\vec{BC}\). Вектор \(-\vec{BC}\) является вектором \(\vec{CB}\). Таким образом, выражение становится \(\vec{BA} + \vec{CB}\). Для применения правила треугольника, мы можем переставить слагаемые: \(\vec{CB} + \vec{BA}\). Используя правило треугольника, где B является конечной точкой \(\vec{CB}\) и начальной точкой \(\vec{BA}\), сумма векторов равна вектору, идущему от начальной точки \(\vec{CB}\) (то есть C) к конечной точке \(\vec{BA}\) (то есть A). Следовательно, \(\vec{CB} + \vec{BA} = \vec{CA}\).
Наконец, рассмотрим вектор \(\vec{AC} — \vec{DB}\). Преобразуем вычитание в сложение с противоположным вектором: \(\vec{AC} — \vec{DB} = \vec{AC} + (-\vec{DB})\). Вектор \(-\vec{DB}\) имеет то же направление и длину, что и \(\vec{BD}\), поэтому \(-\vec{DB} = \vec{BD}\). Таким образом, нам нужно найти сумму \(\vec{AC} + \vec{BD}\). В параллелограмме ABCD, если принять \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\), то вектор диагонали \(\vec{AC}\) можно выразить как сумму прилегающих сторон: \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\). Поскольку в параллелограмме \(\vec{BC} = \vec{AD}\), то \(\vec{AC} = \vec{a} + \vec{b}\). Вектор диагонали \(\vec{BD}\) можно найти, используя правило треугольника для \(\triangle ABD\): \(\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD}\), откуда \(\vec{BD} = \vec{AD} — \vec{AB} = \vec{b} — \vec{a}\). Теперь подставим эти выражения в сумму: \(\vec{AC} + \vec{BD} = (\vec{a} + \vec{b}) + (\vec{b} — \vec{a})\). Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{b} — \vec{a} = 2\vec{b}\). Поскольку \(\vec{b} = \vec{AD}\), то результат равен \(2\vec{AD}\). Этот вектор начинается в точке A, имеет то же направление, что и \(\vec{AD}\), но в два раза большую длину. Если мы обозначим точку E так, что D является серединой отрезка AE, то \(\vec{AE} = 2\vec{AD}\). Следовательно, \(\vec{AC} — \vec{DB} = \vec{AE}\).
