ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 476 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отложите от одной точки три вектора, модули которых равны, так, чтобы сумма двух из них была равна третьему вектору.
Дано: \(|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R\) и \(\vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC}\).
Возведем векторное равенство в квадрат:
\(|\vec{OA}|^2 = |\vec{OB} + \vec{OC}|^2\)
\(R^2 = |\vec{OB}|^2 + |\vec{OC}|^2 + 2|\vec{OB}||\vec{OC}|\cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\)
\(R^2 = R^2 + R^2 + 2R \cdot R \cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\)
\(R^2 = 2R^2 + 2R^2 \cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\)
\(-R^2 = 2R^2 \cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\)
\(\cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC})) = -\frac{R^2}{2R^2} = -\frac{1}{2}\)
Следовательно, \(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}) = 120^\circ\).
Поскольку \(\vec{OA}\) является суммой двух векторов равной длины \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\), вектор \(\vec{OA}\) лежит на биссектрисе угла между ними.
Таким образом, \(\angle(\vec{OA}, \vec{OB}) = \angle(\vec{OA}, \vec{OC}) = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ\).
Рассмотрим треугольник OAB:
Стороны \(OA = R\) и \(OB = R\), угол между ними \(\angle AOB = 60^\circ\).
Треугольник с двумя равными сторонами и углом \(60^\circ\) между ними является равносторонним.
Значит, \(AB = R\).
Рассмотрим треугольник OAC:
Стороны \(OA = R\) и \(OC = R\), угол между ними \(\angle AOC = 60^\circ\).
Аналогично, треугольник OAC является равносторонним.
Значит, \(AC = R\).
Таким образом, все длины \(OA, OB, OC, AB, AC\) равны R.
Пусть даны три вектора \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\), исходящие из одной общей точки O. По условию задачи, модули всех трех векторов равны между собой. Обозначим этот общий модуль как R, то есть \(|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R\). Также дано условие, что сумма двух из этих векторов равна третьему вектору. Без потери общности, мы можем записать это векторное равенство как \(\vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC}\).
Для того чтобы определить взаимное расположение этих векторов в пространстве, мы можем использовать свойство модуля суммы векторов. Возведем обе части векторного равенства \(\vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC}\) в квадрат по модулю. Это дает нам \(|\vec{OA}|^2 = |\vec{OB} + \vec{OC}|^2\). Используя формулу для квадрата модуля суммы двух векторов, которая включает косинус угла между ними, мы получаем: \(|\vec{OA}|^2 = |\vec{OB}|^2 + |\vec{OC}|^2 + 2|\vec{OB}||\vec{OC}|\cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\). Здесь \(\angle(\vec{OB}, \vec{OC})\) представляет собой угол между векторами \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\).
Теперь подставим известное значение модулей векторов, которое равно R, в полученное уравнение: \(R^2 = R^2 + R^2 + 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\). Упрощая правую часть уравнения, мы получаем: \(R^2 = 2R^2 + 2R^2 \cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\).
Для того чтобы найти значение косинуса угла, вычтем \(2R^2\) из обеих частей уравнения: \(R^2 — 2R^2 = 2R^2 \cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\). Это упрощается до \(-R^2 = 2R^2 \cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC}))\). Поскольку R является положительной величиной (модуль вектора не может быть равен нулю, если он существует), мы можем разделить обе части уравнения на \(2R^2\). В результате получаем: \(\cos(\angle(\vec{OB}, \vec{OC})) = \frac{-R^2}{2R^2} = -\frac{1}{2}\).
Значение косинуса угла, равное \(-\frac{1}{2}\), однозначно указывает на то, что угол между векторами \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\) составляет \(120^\circ\). То есть, \(\angle BOC = 120^\circ\).
Теперь перейдем к геометрической интерпретации. Вектор \(\vec{OA}\) является результирующим вектором сложения \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\). Поскольку модули векторов \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\) равны (оба равны R), параллелограмм, построенный на этих двух векторах, является ромбом. В ромбе диагональ, проведенная из вершины, делит угол при этой вершине пополам. В данном случае, вектор \(\vec{OA}\) является такой диагональю и делит угол \(\angle BOC = 120^\circ\) на две равные части. Следовательно, углы \(\angle AOB\) и \(\angle AOC\) равны по \(60^\circ\). То есть, \(\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\) и \(\angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 120^\circ = 60^\circ\).
Исходя из этого, рассмотрим треугольник OAB. Мы знаем, что \(|\vec{OA}| = R\) и \(|\vec{OB}| = R\), а угол между ними \(\angle AOB = 60^\circ\). Треугольник с двумя равными сторонами и углом между ними в \(60^\circ\) является равносторонним. Это означает, что третья сторона AB также равна R. Аналогично, для треугольника OAC: \(|\vec{OA}| = R\), \(|\vec{OC}| = R\), и \(\angle AOC = 60^\circ\). Следовательно, треугольник OAC также является равносторонним, и длина отрезка AC равна R. Таким образом, все условия, указанные на изображении, а именно \(OA = OB = OC = AB = AC = R\), полностью удовлетворяются при таком расположении векторов.
