ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 477 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Отложите от одной точки три вектора, модули которых равны, так, чтобы их сумма была равна нуль-вектору.
\(OA = OB = OC = OD = DB = DC = R;\)
\(|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = |\vec{OD}|, \vec{OD} = \vec{OB} + \vec{OC};\)
\( \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OA} + \vec{OD} = \vec{OA} — \vec{OA} = \vec{0}; \)
Для того чтобы сумма трех векторов, отложенных от одной точки и имеющих равные модули, была равна нуль-вектору, эти векторы должны быть расположены таким образом, чтобы углы между любыми двумя из них составляли \(120\) градусов.
Пусть у нас есть три вектора: \(\vec{OA}\), \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\), исходящие из общей точки \(O\). Их модули равны, то есть \(|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R\), где \(R\) — некоторая положительная величина.
Если мы расположим эти векторы так, что угол между \(\vec{OA}\) и \(\vec{OB}\) равен \(120^\circ\), угол между \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\) равен \(120^\circ\), и, соответственно, угол между \(\vec{OC}\) и \(\vec{OA}\) также равен \(120^\circ\), то их векторная сумма будет равна нуль-вектору.
Рассмотрим сумму двух векторов, например, \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\). Если угол между ними \(120^\circ\), то при сложении этих двух векторов по правилу параллелограмма (или треугольника) мы получим результирующий вектор \(\vec{OD}\). Вектор \(\vec{OD}\) будет направлен точно в противоположную сторону от вектора \(\vec{OA}\).
Модуль вектора \(\vec{OD}\) можно найти, используя теорему косинусов для треугольника, образованного векторами \(\vec{OB}\), \(\vec{OC}\) и \(\vec{OD}\). В этом треугольнике стороны \(\vec{OB}\) и \(\vec{OC}\) имеют длину \(R\), а угол между ними \(120^\circ\). Тогда \(|\vec{OD}|^2 = |\vec{OB}|^2 + |\vec{OC}|^2 — 2|\vec{OB}||\vec{OC}|\cos(120^\circ)\). Подставляя значения, получаем \(|\vec{OD}|^2 = R^2 + R^2 — 2R \cdot R \cdot (-\frac{1}{2})\), что упрощается до \(|\vec{OD}|^2 = 2R^2 + R^2 = 3R^2\). Однако, это неверно для сложения векторов.
При сложении двух векторов равной длины \(R\) с углом \(120^\circ\) между ними, результирующий вектор также будет иметь длину \(R\). Это можно увидеть, если рассмотреть треугольник, образованный этими векторами и их суммой. Этот треугольник будет равнобедренным с углом \(120^\circ\) при вершине. Углы при основании будут по \((180^\circ — 120^\circ)/2 = 30^\circ\). Если мы построим параллелограмм, то диагональ, являющаяся суммой векторов, будет иметь длину \(R\).
Таким образом, \(|\vec{OD}| = R\). Поскольку вектор \(\vec{OD}\) направлен противоположно вектору \(\vec{OA}\) и имеет ту же длину, мы можем записать, что \(\vec{OD} = -\vec{OA}\).
Теперь найдем сумму всех трех векторов:
\(\vec{S} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}\).
Мы можем сгруппировать два вектора:
\(\vec{S} = \vec{OA} + (\vec{OB} + \vec{OC})\).
Поскольку \(\vec{OB} + \vec{OC} = \vec{OD}\) и \(\vec{OD} = -\vec{OA}\), подставляем это в уравнение:
\(\vec{S} = \vec{OA} + (-\vec{OA})\).
\(\vec{S} = \vec{OA} — \vec{OA}\).
\(\vec{S} = \vec{0}\).
Таким образом, сумма трех векторов, отложенных от одной точки, имеющих равные модули и расположенных под углом \(120\) градусов друг к другу, равна нуль-вектору.
