ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 478 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Для точек A, B, C, D, изображённых на рисунке 120, постройте такой вектор \(\vec{x}\), чтобы \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{x} = \vec{0}\).

Нам дано уравнение: \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{x} = \vec{0}\).

Из свойств сложения векторов (правило параллелограмма) мы знаем, что \(\vec{CB} + \vec{CD} = \vec{CE}\).

Из данного рисунка видно, что вектор \(\vec{EF}\) равен вектору \(\vec{AB}\), то есть \(\vec{EF} = \vec{AB}\).

Теперь сложим векторы \(\vec{CE}\) и \(\vec{EF}\) (правило треугольника): \(\vec{CE} + \vec{EF} = \vec{CF}\).

Подставим выражения для \(\vec{CE}\) и \(\vec{EF}\) в это равенство: \(\vec{CB} + \vec{CD} + \vec{AB} = \vec{CF}\).

Вернемся к исходному уравнению: \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{x} = \vec{0}\).

Перегруппируем члены: \((\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD}) + \vec{x} = \vec{0}\).

Так как мы установили, что \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} = \vec{CF}\), то подставим это в уравнение: \(\vec{CF} + \vec{x} = \vec{0}\).

Отсюда выразим \(\vec{x}\): \(\vec{x} = -\vec{CF}\).

По определению отрицательного вектора, \(\vec{FC} = -\vec{CF}\).

Следовательно, \(\vec{x} = \vec{FC}\).

Нам дано векторное уравнение, которое необходимо решить относительно неизвестного вектора \(\vec{x}\). Уравнение имеет вид: \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} + \vec{x} = \vec{0}\). Наша задача — выразить \(\vec{x}\) через известные векторы и упростить полученное выражение, используя правила сложения векторов и информацию, предоставленную на рисунке.

Для начала, давайте выразим \(\vec{x}\) из данного уравнения. Перенесем все известные векторы в правую часть уравнения, изменив их знаки на противоположные: \(\vec{x} = -(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD})\). Это означает, что \(\vec{x}\) равен отрицательному вектору от суммы \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD}\).

Теперь сосредоточимся на упрощении суммы векторов в скобках: \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD}\). Мы можем перегруппировать эти векторы для удобства сложения. Рассмотрим сумму \(\vec{CB} + \vec{CD}\) в первую очередь. Согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, если два вектора \(\vec{CB}\) и \(\vec{CD}\) имеют общее начало в точке C, то их сумма является вектором, представляющим диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах. На рисунке явно показано, что \(\vec{CB} + \vec{CD} = \vec{CE}\). Точка E является вершиной параллелограмма CBED.

Далее, нам нужно учесть вектор \(\vec{AB}\). На рисунке указано, что вектор \(\vec{EF}\) параллелен вектору \(\vec{AB}\) и имеет ту же длину, а также направлен в ту же сторону. Это означает, что векторы \(\vec{EF}\) и \(\vec{AB}\) равны: \(\vec{EF} = \vec{AB}\). Это ключевое наблюдение, которое позволит нам связать векторы из разных частей фигуры.

Теперь мы можем подставить полученные результаты обратно в сумму \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD}\). Заменим \(\vec{CB} + \vec{CD}\) на \(\vec{CE}\) и \(\vec{AB}\) на \(\vec{EF}\). Таким образом, наша сумма преобразуется в \(\vec{EF} + \vec{CE}\). Поскольку сложение векторов коммутативно (порядок слагаемых не влияет на сумму), мы можем переписать это как \(\vec{CE} + \vec{EF}\).

Теперь применим правило треугольника для сложения векторов \(\vec{CE}\) и \(\vec{EF}\). Вектор \(\vec{CE}\) заканчивается в точке E, и вектор \(\vec{EF}\) начинается в точке E. Это идеальные условия для применения правила треугольника: сумма этих двух векторов будет вектором, который начинается в начальной точке первого вектора (C) и заканчивается в конечной точке второго вектора (F). Следовательно, \(\vec{CE} + \vec{EF} = \vec{CF}\).

Таким образом, мы упростили всю сумму векторов: \(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD} = \vec{CF}\).

Возвращаясь к нашему исходному уравнению для \(\vec{x}\), которое было \(\vec{x} = -(\vec{AB} + \vec{CB} + \vec{CD})\), мы можем теперь подставить упрощенную сумму: \(\vec{x} = -\vec{CF}\).

Наконец, нам нужно интерпретировать вектор \(-\vec{CF}\). Отрицательный вектор \(-\vec{CF}\) — это вектор, который имеет ту же длину, что и \(\vec{CF}\), но противоположное направление. Если вектор \(\vec{CF}\) направлен от точки C к точке F, то вектор \(-\vec{CF}\) будет направлен от точки F к точке C. Вектор, направленный от F к C, обозначается как \(\vec{FC}\).

Следовательно, окончательное выражение для вектора \(\vec{x}\) будет: \(\vec{x} = \vec{FC}\).