ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 48 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Две стороны треугольника, угол между которыми равен \(120^\circ\), относятся как 5 : 3. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 30 см.
Дано: \( \angle B = 120^\circ \), \( BC : AB = 5 : 3 \), \( AB + BC + AC = 30 \).
Пусть \( AB = x \), тогда \( BC = \frac{5}{3} x \).
Периметр: \( x + \frac{5}{3} x + AC = 30 \Rightarrow AC = 30 — \frac{8}{3} x \).
По теореме косинусов:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos 120^\circ \).
Подставляем:
\( \left(30 — \frac{8}{3} x\right)^2 = x^2 + \left(\frac{5}{3} x\right)^2 — 2 \cdot x \cdot \frac{5}{3} x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \).
Упрощаем правую часть:
\( x^2 + \frac{25}{9} x^2 + \frac{5}{3} x^2 = \frac{49}{9} x^2 \).
Раскрываем левую часть:
\( 900 — 160 x + \frac{64}{9} x^2 = \frac{49}{9} x^2 \).
Переносим все в одну сторону:
\( 900 — 160 x + \frac{64}{9} x^2 — \frac{49}{9} x^2 = 0 \Rightarrow 900 — 160 x + \frac{15}{9} x^2 = 0 \).
Умножаем на 9:
\( 8100 — 1440 x + 15 x^2 = 0 \).
Делим на 15:
\( 540 — 96 x + x^2 = 0 \).
Переписываем:
\( x^2 — 96 x + 540 = 0 \).
Дискриминант:
\( D = (-96)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 540 = 9216 — 2160 = 7056 \).
Корни:
\( x = \frac{96 \pm \sqrt{7056}}{2} = \frac{96 \pm 84}{2} \).
\( x_1 = \frac{96 — 84}{2} = 6 \), \( x_2 = \frac{96 + 84}{2} = 90 \).
Берём \( x = 6 \), тогда
\( AB = 6 \),
\( BC = \frac{5}{3} \times 6 = 10 \),
\( AC = 30 — \frac{8}{3} \times 6 = 14 \).
Ответ: \( AB = 6 \) см, \( BC = 10 \) см, \( AC = 14 \) см.
Дано, что угол \( \angle B = 120^\circ \), стороны \( BC \) и \( AB \) относятся как \( 5 : 3 \), и периметр треугольника \( ABC \) равен 30 см.
Обозначим длину стороны \( AB \) через \( x \). Тогда длина стороны \( BC \) будет равна \( \frac{5}{3} x \), так как стороны пропорциональны.
Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон, значит:
\( AB + BC + AC = 30 \)
Подставляем известные выражения:
\( x + \frac{5}{3} x + AC = 30 \)
Отсюда находим длину стороны \( AC \):
\( AC = 30 — x — \frac{5}{3} x = 30 — \frac{8}{3} x \).
Для нахождения \( AC \) через \( x \) используем теорему косинусов, которая гласит, что квадрат стороны, напротив угла \( B \), равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В нашем случае:
\( AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B \).
Подставляем значения:
\( \left(30 — \frac{8}{3} x\right)^2 = x^2 + \left(\frac{5}{3} x\right)^2 — 2 \cdot x \cdot \frac{5}{3} x \cdot \cos 120^\circ \).
Известно, что \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \), подставляем это:
\( \left(30 — \frac{8}{3} x\right)^2 = x^2 + \frac{25}{9} x^2 — 2 \cdot x \cdot \frac{5}{3} x \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \).
В правой части упростим:
\( x^2 + \frac{25}{9} x^2 + \frac{5}{3} x^2 = x^2 + \frac{25}{9} x^2 + \frac{15}{9} x^2 = \frac{9}{9} x^2 + \frac{40}{9} x^2 = \frac{49}{9} x^2 \).
Раскроем левую часть:
\( \left(30 — \frac{8}{3} x\right)^2 = 900 — 2 \cdot 30 \cdot \frac{8}{3} x + \left(\frac{8}{3} x\right)^2 = 900 — 160 x + \frac{64}{9} x^2 \).
Приравниваем обе части:
\( 900 — 160 x + \frac{64}{9} x^2 = \frac{49}{9} x^2 \).
Переносим все члены в левую сторону:
\( 900 — 160 x + \frac{64}{9} x^2 — \frac{49}{9} x^2 = 0 \),
что упрощается до
\( 900 — 160 x + \frac{15}{9} x^2 = 0 \).
Умножаем на 9, чтобы избавиться от дробей:
\( 8100 — 1440 x + 15 x^2 = 0 \).
Делим всё уравнение на 15 для упрощения:
\( 540 — 96 x + x^2 = 0 \).
Переписываем уравнение в стандартной форме:
\( x^2 — 96 x + 540 = 0 \).
Вычисляем дискриминант:
\( D = (-96)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 540 = 9216 — 2160 = 7056 \).
Находим корни уравнения:
\( x = \frac{96 \pm \sqrt{7056}}{2} \).
Корень из 7056 равен 84, значит:
\( x_1 = \frac{96 — 84}{2} = \frac{12}{2} = 6 \),
\( x_2 = \frac{96 + 84}{2} = \frac{180}{2} = 90 \).
Так как \( x = 90 \) не подходит (сумма сторон будет больше 30), берём \( x = 6 \).
Подставляем обратно:
\( AB = 6 \),
\( BC = \frac{5}{3} \times 6 = 10 \),
\( AC = 30 — \frac{8}{3} \times 6 = 30 — 16 = 14 \).
Ответ: \( AB = 6 \) см, \( BC = 10 \) см, \( AC = 14 \) см.
