ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 482 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан параллелограмм ABCD. Выразите векторы \(\vec{AC}\), \(\vec{BD}\), \(\vec{BC}\) через векторы \(\vec{BA} = \vec{a}\), \(\vec{DA} = \vec{b}\).
Для параллелограмма ABCD, если \(\vec{BA} = \vec{a}\) и \(\vec{DA} = \vec{b}\), тогда:
1. \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\). Так как \(\vec{AB} = -\vec{BA} = -\vec{a}\) и \(\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}\), то \(\vec{AC} = -\vec{a} — \vec{b}\).
2. \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\). Так как \(\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}\), то \(\vec{BD} = \vec{a} — \vec{b}\).
3. \(\vec{BC} = \vec{AD}\). Так как \(\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}\), то \(\vec{BC} = -\vec{b}\).
Для параллелограмма ABCD, нам даны два вектора: \(\vec{BA} = \vec{a}\) и \(\vec{DA} = \vec{b}\). Наша задача состоит в том, чтобы выразить векторы \(\vec{AC}\), \(\vec{BD}\) и \(\vec{BC}\) через заданные векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Рассмотрим вектор \(\vec{AC}\). Вектор \(\vec{AC}\) является диагональю параллелограмма ABCD, исходящей из вершины A. Согласно правилу сложения векторов (правилу параллелограмма или правилу треугольника), вектор диагонали, исходящей из одной вершины, равен сумме векторов смежных сторон, исходящих из этой же вершины. Таким образом, \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\). Теперь нам нужно выразить \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) через заданные \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Вектор \(\vec{AB}\) противоположен вектору \(\vec{BA}\), поэтому \(\vec{AB} = -\vec{BA}\). Поскольку \(\vec{BA} = \vec{a}\), то \(\vec{AB} = -\vec{a}\). Аналогично, вектор \(\vec{AD}\) противоположен вектору \(\vec{DA}\), поэтому \(\vec{AD} = -\vec{DA}\). Поскольку \(\vec{DA} = \vec{b}\), то \(\vec{AD} = -\vec{b}\). Подставляя эти выражения в формулу для \(\vec{AC}\), получаем: \(\vec{AC} = (-\vec{a}) + (-\vec{b})\), что упрощается до \(\vec{AC} = -\vec{a} — \vec{b}\).
Теперь рассмотрим вектор \(\vec{BD}\). Вектор \(\vec{BD}\) также является диагональю параллелограмма. Мы можем выразить его, используя правило треугольника. Например, мы можем представить путь от точки B к точке D как последовательность перемещений от B к A, а затем от A к D. Таким образом, \(\vec{BD} = \vec{BA} + \vec{AD}\). Нам уже дано, что \(\vec{BA} = \vec{a}\). Для вектора \(\vec{AD}\) мы уже определили, что он равен \(\vec{AD} = -\vec{DA}\). Поскольку \(\vec{DA} = \vec{b}\), то \(\vec{AD} = -\vec{b}\). Подставляя эти значения в формулу для \(\vec{BD}\), получаем: \(\vec{BD} = \vec{a} + (-\vec{b})\), что упрощается до \(\vec{BD} = \vec{a} — \vec{b}\).
Наконец, выразим вектор \(\vec{BC}\). В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, представляющие противоположные стороны и направленные в одну сторону, равны. В данном случае, сторона BC параллельна стороне AD, и они имеют одинаковую длину. Следовательно, вектор \(\vec{BC}\) равен вектору \(\vec{AD}\). Мы уже определили, что \(\vec{AD} = -\vec{DA}\). Поскольку \(\vec{DA} = \vec{b}\), то \(\vec{AD} = -\vec{b}\). Таким образом, \(\vec{BC} = -\vec{b}\).
