ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 484 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что для любых точек A, B, C, D выполняется равенство:

1) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}\);

2) \(\vec{CA} — \vec{CB} = \vec{DA} — \vec{DB}\);

3) \(\vec{AC} + \vec{CB} — \vec{AD} = \vec{DB}\).

1) \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}\);
\(\vec{AC} = \vec{AC}\);
Равенство доказано.

2) \(\vec{CA} — \vec{CB} = \vec{DA} — \vec{DB}\);
\(\vec{BA} = \vec{BA}\);
Равенство доказано.

3) \(\vec{AC} + \vec{CB} — \vec{AD} = \vec{DB}\);
\(\vec{AB} — \vec{AD} = \vec{DB}\);
\(\vec{DB} = \vec{DB}\);
Равенство доказано.

Рассмотрим первое векторное равенство, которое необходимо доказать: \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AD} + \vec{DC}\). Для того чтобы доказать это равенство, мы поочередно упростим каждую из его частей, используя основные правила сложения векторов.

Начнем с левой части равенства: \(\vec{AB} + \vec{BC}\). Согласно правилу треугольника для сложения векторов, если конец первого вектора совпадает с началом второго вектора, то их сумма представляет собой вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго вектора. В данном случае, конец вектора \(\vec{AB}\) – это точка \(B\), и начало вектора \(\vec{BC}\) – это тоже точка \(B\). Следовательно, их сумма \(\vec{AB} + \vec{BC}\) будет равна вектору \(\vec{AC}\), который начинается в точке \(A\) (начало \(\vec{AB}\)) и заканчивается в точке \(C\) (конец \(\vec{BC}\)). Таким образом, левая часть равенства упрощается до \(\vec{AC}\).

Теперь перейдем к правой части равенства: \(\vec{AD} + \vec{DC}\). Применяя то же самое правило треугольника, мы видим, что конец вектора \(\vec{AD}\) – это точка \(D\), и начало вектора \(\vec{DC}\) – это также точка \(D\). Поэтому их сумма \(\vec{AD} + \vec{DC}\) будет равна вектору \(\vec{AC}\), который начинается в точке \(A\) (начало \(\vec{AD}\)) и заканчивается в точке \(C\) (конец \(\vec{DC}\)). Таким образом, правая часть равенства также упрощается до \(\vec{AC}\).

Поскольку левая часть равенства \(\vec{AB} + \vec{BC}\) оказалась равной \(\vec{AC}\), и правая часть равенства \(\vec{AD} + \vec{DC}\) также оказалась равной \(\vec{AC}\), мы можем заключить, что \(\vec{AC} = \vec{AC}\). Это подтверждает истинность исходного векторного равенства.

Рассмотрим второе векторное равенство: \(\vec{CA} — \vec{CB} = \vec{DA} — \vec{DB}\). Для доказательства этого равенства мы будем использовать правило вычитания векторов. Согласно этому правилу, вектор \(\vec{X} — \vec{Y}\) можно представить как вектор, который начинается в конце вектора \(\vec{Y}\) и заканчивается в конце вектора \(\vec{X}\), то есть \(\vec{X} — \vec{Y} = \vec{YX}\).

Начнем с левой части равенства: \(\vec{CA} — \vec{CB}\). Здесь \(\vec{CA}\) играет роль \(\vec{X}\), а \(\vec{CB}\) играет роль \(\vec{Y}\). Конец вектора \(\vec{CB}\) – это точка \(B\), а конец вектора \(\vec{CA}\) – это точка \(A\). Применяя правило вычитания, получаем, что \(\vec{CA} — \vec{CB} = \vec{BA}\).

Теперь рассмотрим правую часть равенства: \(\vec{DA} — \vec{DB}\). Здесь \(\vec{DA}\) играет роль \(\vec{X}\), а \(\vec{DB}\) играет роль \(\vec{Y}\). Конец вектора \(\vec{DB}\) – это точка \(B\), а конец вектора \(\vec{DA}\) – это точка \(A\). Применяя правило вычитания, получаем, что \(\vec{DA} — \vec{DB} = \vec{BA}\).

Поскольку и левая часть \(\vec{CA} — \vec{CB}\), и правая часть \(\vec{DA} — \vec{DB}\) упрощаются до одного и того же вектора \(\vec{BA}\), мы можем заключить, что \(\vec{BA} = \vec{BA}\). Это доказывает второе векторное равенство.

Перейдем к третьему векторному равенству: \(\vec{AC} + \vec{CB} — \vec{AD} = \vec{DB}\). Мы будем упрощать левую часть равенства, чтобы показать, что она равна правой части.

Сначала рассмотрим первую часть левой стороны: \(\vec{AC} + \vec{CB}\). Используя правило треугольника для сложения векторов, мы видим, что конец вектора \(\vec{AC}\) – это точка \(C\), и начало вектора \(\vec{CB}\) – это тоже точка \(C\). Следовательно, их сумма \(\vec{AC} + \vec{CB}\) будет равна вектору \(\vec{AB}\), который начинается в точке \(A\) (начало \(\vec{AC}\)) и заканчивается в точке \(B\) (конец \(\vec{CB}\)).

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение. Левая часть равенства примет вид \(\vec{AB} — \vec{AD}\). Далее, мы применим правило вычитания векторов. Вектор \(\vec{AB}\) играет роль \(\vec{X}\), а вектор \(\vec{AD}\) играет роль \(\vec{Y}\). Конец вектора \(\vec{AD}\) – это точка \(D\), а конец вектора \(\vec{AB}\) – это точка \(B\). Согласно правилу вычитания, \(\vec{AB} — \vec{AD} = \vec{DB}\).

Таким образом, левая часть исходного равенства \(\vec{AC} + \vec{CB} — \vec{AD}\) полностью упрощается до вектора \(\vec{DB}\).

Правая часть исходного равенства уже представлена как \(\vec{DB}\).

Поскольку левая часть равенства упростилась до \(\vec{DB}\), и правая часть равенства также является \(\vec{DB}\), мы получаем \(\vec{DB} = \vec{DB}\). Это подтверждает истинность третьего векторного равенства.