ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 485 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что для любых точек A, B, C, D выполняется равенство:

1) \(\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BD} + \vec{DC}\);

2) \(\vec{AB} — \vec{AD} = \vec{CB} — \vec{CD}\);

3) \(\vec{BA} — \vec{BD} + \vec{AC} = \vec{DC}\).

1) \(\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BD} + \vec{DC}\);
\(\vec{BC} = \vec{BC}\);
Равенство доказано.

2) \(\vec{AB} — \vec{AD} = \vec{CB} — \vec{CD}\);
\(\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DC} + \vec{CB}\);
\(\vec{DB} = \vec{DB}\);
Равенство доказано.

3) \(\vec{BA} — \vec{BD} + \vec{AC} = \vec{DC}\);
\(\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BD} + \vec{DC}\);
\(\vec{BC} = \vec{BC}\);
Равенство доказано.

Докажем каждое равенство по отдельности, используя основные правила векторной алгебры.

1) Доказать равенство: \(\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BD} + \vec{DC}\)

Рассмотрим левую часть равенства: \(\vec{BA} + \vec{AC}\). Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), если конец первого вектора совпадает с началом второго вектора, то их сумма является вектором, идущим от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, точка \(A\) является общей точкой. Следовательно, \(\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BC}\).

Теперь рассмотрим правую часть равенства: \(\vec{BD} + \vec{DC}\). Аналогично, по правилу сложения векторов, точка \(D\) является общей точкой. Следовательно, \(\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}\).

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору \(\vec{BC}\), то есть \(\vec{BC} = \vec{BC}\), равенство \(\vec{BA} + \vec{AC} = \vec{BD} + \vec{DC}\) доказано.

2) Доказать равенство: \(\vec{AB} — \vec{AD} = \vec{CB} — \vec{CD}\)

Рассмотрим левую часть равенства: \(\vec{AB} — \vec{AD}\). Для вычитания векторов, имеющих общее начало, применяется правило: \(\vec{XY} — \vec{XZ} = \vec{ZY}\). В данном случае, векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\) имеют общее начало в точке \(A\). Применяя это правило, получаем: \(\vec{AB} — \vec{AD} = \vec{DB}\).

Теперь рассмотрим правую часть равенства: \(\vec{CB} — \vec{CD}\). Аналогично, векторы \(\vec{CB}\) и \(\vec{CD}\) имеют общее начало в точке \(C\). Применяя то же правило вычитания векторов, получаем: \(\vec{CB} — \vec{CD} = \vec{DB}\).

Поскольку левая и правая части равенства равны одному и тому же вектору \(\vec{DB}\), то есть \(\vec{DB} = \vec{DB}\), равенство \(\vec{AB} — \vec{AD} = \vec{CB} — \vec{CD}\) доказано.

3) Доказать равенство: \(\vec{BA} — \vec{BD} + \vec{AC} = \vec{DC}\)

Рассмотрим левую часть равенства: \(\vec{BA} — \vec{BD} + \vec{AC}\).

Сначала выполним операцию вычитания \(\vec{BA} — \vec{BD}\). Векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{BD}\) имеют общее начало в точке \(B\). Используя правило вычитания векторов с общим началом (\(\vec{XY} — \vec{XZ} = \vec{ZY}\)), получаем: \(\vec{BA} — \vec{BD} = \vec{DA}\).

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение левой части: \(\vec{DA} + \vec{AC}\).

Далее, выполним операцию сложения \(\vec{DA} + \vec{AC}\). Согласно правилу сложения векторов (правило треугольника), если конец первого вектора совпадает с началом второго вектора, то их сумма является вектором, идущим от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, точка \(A\) является общей точкой. Следовательно, \(\vec{DA} + \vec{AC} = \vec{DC}\).

Правая часть исходного равенства: \(\vec{DC}\).

Поскольку левая часть равенства в итоге равна \(\vec{DC}\), и правая часть также равна \(\vec{DC}\), то есть \(\vec{DC} = \vec{DC}\), равенство \(\vec{BA} — \vec{BD} + \vec{AC} = \vec{DC}\) доказано.