ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 487 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}\).
В параллелограмме \(ABCD\) диагонали точкой пересечения \(O\) делятся пополам.
Следовательно, \(O\) — середина отрезка \(AC\), поэтому \(\vec{OA} = -\vec{OC}\), или \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}\).
Аналогично, \(O\) — середина отрезка \(BD\), поэтому \(\vec{OB} = -\vec{OD}\), или \(\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}\).
Тогда сумма векторов \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}\) может быть записана как \((\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD})\).
Подставляя полученные равенства, имеем \(\vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\).
Таким образом, \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}\).
Что и требовалось доказать.
Пусть дан параллелограмм \(ABCD\). Точка \(O\) является точкой пересечения его диагоналей \(AC\) и \(BD\).
Известно, что в любом параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Это означает, что точка \(O\) является серединой диагонали \(AC\) и одновременно серединой диагонали \(BD\).
Рассмотрим диагональ \(AC\). Поскольку \(O\) — середина отрезка \(AC\), векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OC}\) имеют одинаковую длину, но противоположное направление. Это свойство середины отрезка в векторной форме выражается как \(\vec{OA} = -\vec{OC}\). Перенося вектор \(\vec{OC}\) в левую часть уравнения, получаем \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}\). Здесь \(\vec{0}\) обозначает нулевой вектор.
Аналогично, рассмотрим диагональ \(BD\). Поскольку \(O\) — середина отрезка \(BD\), векторы \(\vec{OB}\) и \(\vec{OD}\) также имеют одинаковую длину, но противоположное направление. Векторное равенство для этого случая будет \(\vec{OB} = -\vec{OD}\). Перенося вектор \(\vec{OD}\) в левую часть уравнения, получаем \(\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}\).
Теперь рассмотрим сумму всех четырех векторов, которую нам необходимо доказать: \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD}\). Мы можем перегруппировать эти векторы таким образом, чтобы использовать полученные ранее равенства. Сгруппируем векторы, относящиеся к одной диагонали: \((\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD})\).
Подставим в это выражение полученные ранее нулевые векторные суммы: вместо \((\vec{OA} + \vec{OC})\) мы подставим \(\vec{0}\), и вместо \((\vec{OB} + \vec{OD})\) мы также подставим \(\vec{0}\). Таким образом, выражение примет вид \(\vec{0} + \vec{0}\).
Сумма двух нулевых векторов, очевидно, равна нулевому вектору. Следовательно, \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}\).
Таким образом, утверждение доказано.
