ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 488 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Даны четырёхугольник ABCD и некоторая точка O. Известно, что \(\vec{OA} — \vec{OD} = \vec{OB} — \vec{OC}\). Докажите, что четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Дано: \(\vec{OA} — \vec{OD} = \vec{OB} — \vec{OC}\)
Доказать: ABCD — параллелограмм

Решение:
В четырехугольнике ABCD:
Из данного \(\vec{OA} — \vec{OD} = \vec{OB} — \vec{OC}\) следует, что \(\vec{OA} + \vec{DO} = \vec{OB} + \vec{CO}\).
Перегруппируем члены: \(\vec{DO} + \vec{OA} = \vec{CO} + \vec{OB}\).
По правилу сложения векторов (правилу треугольника) получаем \(\vec{DA} = \vec{CB}\).
Из равенства векторов \(\vec{DA} = \vec{CB}\) следует, что стороны \(DA\) и \(CB\) равны по длине (\(DA = CB\)) и параллельны (\(DA \parallel CB\)).
Поскольку в четырехугольнике ABCD одна пара противоположных сторон (\(DA\) и \(CB\)) равна и параллельна, то ABCD — параллелограмм.
Что и требовалось доказать.

Дано: Четырёхугольник ABCD и некоторая точка O. Известно, что \(\vec{OA} — \vec{OD} = \vec{OB} — \vec{OC}\).
Доказать: Четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Решение:

Начнём с анализа данного векторного равенства. Нам дано, что \(\vec{OA} — \vec{OD} = \vec{OB} — \vec{OC}\).

Первым шагом преобразуем разность векторов в сумму. Мы знаем, что вычитание вектора равносильно прибавлению противоположного вектора. То есть, для любых векторов \(\vec{X}\) и \(\vec{Y}\) справедливо равенство \(\vec{X} — \vec{Y} = \vec{X} + (-\vec{Y})\). Кроме того, противоположный вектор к \(\vec{XY}\) это \(\vec{YX}\), то есть \(\vec{XY} = -\vec{YX}\). Следовательно, \((-\vec{OD})\) это вектор \(\vec{DO}\), а \((-\vec{OC})\) это вектор \(\vec{CO}\). Применим это свойство к обеим частям исходного равенства:
\(\vec{OA} + (-\vec{OD}) = \vec{OB} + (-\vec{OC})\)
\(\vec{OA} + \vec{DO} = \vec{OB} + \vec{CO}\)

Теперь перегруппируем члены в каждой части равенства, чтобы применить правило сложения векторов, известное как правило треугольника. Правило треугольника гласит, что если конец одного вектора совпадает с началом другого, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. Например, \(\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}\).
Перепишем равенство следующим образом:
\(\vec{DO} + \vec{OA} = \vec{CO} + \vec{OB}\)

Применим правило треугольника к левой части равенства. Вектор \(\vec{DO}\) начинается в точке D и заканчивается в точке O. Вектор \(\vec{OA}\) начинается в точке O и заканчивается в точке A. Поскольку конец первого вектора (O) совпадает с началом второго (O), их сумма будет вектором, идущим от начала первого вектора (D) к концу второго (A). Таким образом:
\(\vec{DO} + \vec{OA} = \vec{DA}\)

Аналогично применим правило треугольника к правой части равенства. Вектор \(\vec{CO}\) начинается в точке C и заканчивается в точке O. Вектор \(\vec{OB}\) начинается в точке O и заканчивается в точке B. Поскольку конец первого вектора (O) совпадает с началом второго (O), их сумма будет вектором, идущим от начала первого вектора (C) к концу второго (B). Таким образом:
\(\vec{CO} + \vec{OB} = \vec{CB}\)

Подставив полученные результаты обратно в преобразованное равенство, мы получаем:
\(\vec{DA} = \vec{CB}\)

Это равенство двух векторов имеет очень важное геометрическое значение. Когда два вектора равны, это означает, что они обладают двумя ключевыми характеристиками:
1. **Одинаковая длина (модуль):** Модуль вектора \(\vec{DA}\) равен модулю вектора \(\vec{CB}\). Геометрически это означает, что длина отрезка DA равна длине отрезка CB, то есть \(DA = CB\).
2. **Одинаковое направление:** Векторы \(\vec{DA}\) и \(\vec{CB}\) направлены в одну и ту же сторону. Это означает, что прямая, на которой лежит отрезок DA, параллельна прямой, на которой лежит отрезок CB. Таким образом, \(DA \parallel CB\).

Теперь вспомним определение параллелограмма. Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Существует также достаточное условие для того, чтобы четырёхугольник был параллелограммом: если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон одновременно равна по длине и параллельна, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Мы только что доказали, что в четырёхугольнике ABCD сторона DA равна по длине стороне CB (\(DA = CB\)) и сторона DA параллельна стороне CB (\(DA \parallel CB\)). Эти два условия в совокупности полностью соответствуют достаточному условию для параллелограмма.

Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Что и требовалось доказать.