ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 49 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Две стороны треугольника равны 16 см и 14 см, а угол, противолежащий меньшей из известных сторон, равен \(60^\circ\). Найдите неизвестную сторону треугольника.

Дано: \(AB = 16\), \(BC = 14\), \(\angle A = 60^\circ\). Найти \(AC\).

По теореме косинусов:
\(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\)

Подставляем числа:
\(14^2 = 16^2 + AC^2 — 2 \cdot 16 \cdot AC \cdot \cos 60^\circ\)

\(196 = 256 + AC^2 — 2 \cdot 16 \cdot AC \cdot \frac{1}{2}\)

\(196 = 256 + AC^2 — 16 AC\)

Переносим всё в одну сторону:
\(AC^2 — 16 AC + 256 — 196 = 0\)

\(AC^2 — 16 AC + 60 = 0\)

Дискриминант:
\(D = (-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 — 240 = 16\)

Корни:
\(AC_1 = \frac{16 — \sqrt{16}}{2} = \frac{16 — 4}{2} = 6\)

\(AC_2 = \frac{16 + \sqrt{16}}{2} = \frac{16 + 4}{2} = 10\)

Ответ: 6 см; 10 см.

В треугольнике \(ABC\) нам даны длины двух сторон: \(AB = 16\) см и \(BC = 14\) см, а также угол при вершине \(A\), который равен \(60^\circ\). Чтобы найти длину третьей стороны \(AC\), мы воспользуемся теоремой косинусов. Эта теорема позволяет вычислить неизвестную сторону треугольника, если известны две стороны и угол между ними. Формула теоремы косинусов выглядит так: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\). Здесь \(BC\) — сторона напротив угла \(A\), а \(AB\) и \(AC\) — стороны, образующие этот угол.

Подставим известные значения в формулу. Сначала возведём в квадрат известные длины: \(14^2 = 196\) и \(16^2 = 256\). Также учтём, что \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Тогда уравнение примет вид: \(196 = 256 + AC^2 — 2 \cdot 16 \cdot AC \cdot \frac{1}{2}\). Упростим произведение: \(2 \cdot 16 \cdot \frac{1}{2} = 16\), поэтому уравнение станет \(196 = 256 + AC^2 — 16 AC\). Чтобы решить уравнение относительно \(AC\), перенесём все члены в одну сторону: \(AC^2 — 16 AC + 256 — 196 = 0\), что упрощается до \(AC^2 — 16 AC + 60 = 0\).

Теперь решим квадратное уравнение \(AC^2 — 16 AC + 60 = 0\). Для этого вычислим дискриминант: \(D = (-16)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 — 240 = 16\). Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле: \(AC = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -16\). Тогда \(AC_1 = \frac{16 — 4}{2} = 6\), а \(AC_2 = \frac{16 + 4}{2} = 10\). Таким образом, длина стороны \(AC\) может быть либо 6 см, либо 10 см.