Учебник «ГДЗ Мерзляк по Геометрии 9 класс» — это незаменимый инструмент для школьников, которые продолжают изучать геометрию и сталкиваются с более сложными задачами и теоремами. Этот учебник помогает не только справляться с домашними заданиями, но и глубже понимать основы геометрии, необходимые для успешной подготовки к экзаменам и дальнейшему обучению.
ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 490 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Даны точки A (1; -3), B (4; 5), C (-2; -1), D (3; 0). Найдите:
1) координаты векторов \(\vec{AB} + \vec{CD}\) и \(\vec{AB} — \vec{CD}\);
2) \(|\vec{AB} + \vec{CD}|\), \(|\vec{AB} — \vec{CD}|\).
Координаты вектора \(\vec{AB}\): \(x = 4 — 1 = 3\), \(y = 5 — (-3) = 5 + 3 = 8\). Таким образом, \(\vec{AB} = (3; 8)\).
Координаты вектора \(\vec{CD}\): \(x = 3 — (-2) = 3 + 2 = 5\), \(y = 0 — (-1) = 0 + 1 = 1\). Таким образом, \(\vec{CD} = (5; 1)\).
1) Координаты векторов:
\(\vec{AB} + \vec{CD}\): \(x = 3 + 5 = 8\), \(y = 8 + 1 = 9\). Ответ: \((8; 9)\).
\(\vec{AB} — \vec{CD}\): \(x = 3 — 5 = -2\), \(y = 8 — 1 = 7\). Ответ: \((-2; 7)\).
2) Модули векторов:
\(|\vec{AB} + \vec{CD}| = \sqrt{8^2 + 9^2} = \sqrt{64 + 81} = \sqrt{145}\).
\(|\vec{AB} — \vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}\).
Ответ: \(\sqrt{145}\); \(\sqrt{53}\).
Для начала определим координаты каждого из заданных векторов. Координаты вектора, соединяющего две точки, находятся путем вычитания координат начальной точки из координат конечной точки.
Координаты вектора \(\vec{AB}\) определяются как разность координат точки B и точки A. Точка A имеет координаты \((1; -3)\), а точка B имеет координаты \((4; 5)\). Следовательно, x-координата вектора \(\vec{AB}\) будет \(4 — 1 = 3\), а y-координата будет \(5 — (-3) = 5 + 3 = 8\). Таким образом, вектор \(\vec{AB}\) имеет координаты \((3; 8)\).
Координаты вектора \(\vec{CD}\) определяются как разность координат точки D и точки C. Точка C имеет координаты \((-2; -1)\), а точка D имеет координаты \((3; 0)\). Следовательно, x-координата вектора \(\vec{CD}\) будет \(3 — (-2) = 3 + 2 = 5\), а y-координата будет \(0 — (-1) = 0 + 1 = 1\). Таким образом, вектор \(\vec{CD}\) имеет координаты \((5; 1)\).
Теперь, когда мы знаем координаты обоих векторов, мы можем выполнить операции сложения и вычитания векторов.
1) Для нахождения координат вектора \(\vec{AB} + \vec{CD}\) мы складываем соответствующие x-координаты и y-координаты векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\). X-координата суммы будет \(3 + 5 = 8\). Y-координата суммы будет \(8 + 1 = 9\). Таким образом, вектор \(\vec{AB} + \vec{CD}\) имеет координаты \((8; 9)\).
Для нахождения координат вектора \(\vec{AB} — \vec{CD}\) мы вычитаем соответствующие x-координаты и y-координаты вектора \(\vec{CD}\) из координат вектора \(\vec{AB}\). X-координата разности будет \(3 — 5 = -2\). Y-координата разности будет \(8 — 1 = 7\). Таким образом, вектор \(\vec{AB} — \vec{CD}\) имеет координаты \((-2; 7)\).
2) Для нахождения модуля (длины) вектора мы используем формулу \(\sqrt{x^2 + y^2}\), где \(x\) и \(y\) — это координаты вектора.
Модуль вектора \(|\vec{AB} + \vec{CD}|\) вычисляется для вектора с координатами \((8; 9)\). Применяя формулу, получаем \(\sqrt{8^2 + 9^2}\). Вычисляем квадраты: \(8^2 = 64\) и \(9^2 = 81\). Складываем их: \(64 + 81 = 145\). Таким образом, модуль вектора \(|\vec{AB} + \vec{CD}| = \sqrt{145}\).
Модуль вектора \(|\vec{AB} — \vec{CD}|\) вычисляется для вектора с координатами \((-2; 7)\). Применяя формулу, получаем \(\sqrt{(-2)^2 + 7^2}\). Вычисляем квадраты: \((-2)^2 = 4\) и \(7^2 = 49\). Складываем их: \(4 + 49 = 53\). Таким образом, модуль вектора \(|\vec{AB} — \vec{CD}| = \sqrt{53}\).
