ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 496 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Даны точки N (3; -5) и F (4; 1). Найдите \(|\vec{ON} — \vec{OF}|\) и \(|\vec{FO} + \vec{ON}|\), где O — произвольная точка.
Даны точки: \(N(3; -5)\), \(F(4; 1)\).
1) \(|\vec{ON} — \vec{OF}| = |\vec{FN}|\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{(4-3)^{2} + (1-(-5))^{2}}\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{(1)^{2} + (1+5)^{2}}\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{1^{2} + 6^{2}}\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{1 + 36}\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{37}\).
2) \(|\vec{FO} + \vec{ON}| = |\vec{FN}|\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{(4-3)^{2} + (1-(-5))^{2}}\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{(1)^{2} + (1+5)^{2}}\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{1^{2} + 6^{2}}\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{1 + 36}\).
\(|\vec{FN}| = \sqrt{37}\).
Даны две точки в декартовой системе координат: точка \(N\) с координатами \((3; -5)\) и точка \(F\) с координатами \((4; 1)\). Нам необходимо найти значения двух выражений, связанных с этими точками и началом координат \(O(0; 0)\).
Для первого выражения, \(|\vec{ON} — \vec{OF}|\), мы используем свойство вычитания векторов. Векторная разность \(\vec{ON} — \vec{OF}\) эквивалентна вектору, направленному из конечной точки второго вектора к конечной точке первого вектора, то есть \(\vec{FN}\). Таким образом, задача сводится к нахождению модуля вектора \(\vec{FN}\).
Для того чтобы найти вектор \(\vec{FN}\), мы вычитаем координаты начальной точки \(F\) из координат конечной точки \(N\). Координаты точки \(F\) суть \((x_{F}, y_{F}) = (4, 1)\), а координаты точки \(N\) суть \((x_{N}, y_{N}) = (3, -5)\). Следовательно, координаты вектора \(\vec{FN}\) будут \((x_{N} — x_{F}; y_{N} — y_{F})\). Подставляя значения, получаем: \((3 — 4; -5 — 1)\), что дает нам вектор \(\vec{FN} = (-1; -6)\).
Теперь, когда у нас есть координаты вектора \(\vec{FN}\), мы можем найти его модуль. Модуль вектора \(\vec{v} = (x; y)\) вычисляется по формуле \(|\vec{v}| = \sqrt{x^{2} + y^{2}}\). Применяя эту формулу к вектору \(\vec{FN} = (-1; -6)\), получаем: \(|\vec{FN}| = \sqrt{(-1)^{2} + (-6)^{2}}\). Вычисляя квадраты, имеем: \(|\vec{FN}| = \sqrt{1 + 36}\). Складывая значения под корнем, находим: \(|\vec{FN}| = \sqrt{37}\).
Для второго выражения, \(|\vec{FO} + \vec{ON}|\), мы используем правило сложения векторов, известное как правило треугольника. Если у нас есть два вектора, где конец первого вектора совпадает с началом второго вектора, то их сумма представляет собой вектор, начинающийся в начале первого вектора и заканчивающийся в конце второго вектора. В данном случае, конец вектора \(\vec{FO}\) — это точка \(O\), и начало вектора \(\vec{ON}\) — это также точка \(O\). Следовательно, сумма \(\vec{FO} + \vec{ON}\) равна вектору \(\vec{FN}\).
Таким образом, второе выражение также сводится к нахождению модуля вектора \(\vec{FN}\). Как мы уже подробно рассчитали выше, координаты вектора \(\vec{FN}\) равны \((-1; -6)\).
И, соответственно, модуль вектора \(\vec{FN}\) также равен \(\sqrt{37}\).
1) \(|\vec{ON} — \vec{OF}| = \sqrt{37}\)
2) \(|\vec{FO} + \vec{ON}| = \sqrt{37}\)
