ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 498 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что для любых n точек \(A_1, A_2, \dots, A_n\) выполняется равенство \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\).

Краткий ответ:

Доказать равенство для любых \(n\) точек:
\(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\);
\(\vec{A_1A_3} + \vec{A_3A_4} + \vec{A_4A_5} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\);
\(\vec{A_1A_4} + \vec{A_4A_5} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\);
\(\vec{A_1A_{n-1}} + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\);
\(\vec{A_1A_n} = \vec{A_1A_n}\);
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Для доказательства равенства \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\) для любых \(n\) точек, мы будем использовать основной принцип сложения векторов, известный как правило треугольника или правило Шаля. Это правило утверждает, что для любых трех точек \(X\), \(Y\), и \(Z\) в пространстве, сумма векторов \(\vec{XY}\) и \(\vec{YZ}\) равна вектору \(\vec{XZ}\). То есть, \(\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}\).

Рассмотрим левую часть данного равенства: \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n}\).

Начнем с первых двух слагаемых в этой сумме: \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3}\). Применяя правило треугольника к точкам \(A_1\), \(A_2\), и \(A_3\), мы получаем, что \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} = \vec{A_1A_3}\).

Теперь подставим этот результат обратно в исходную сумму. Левая часть равенства преобразуется в: \(\vec{A_1A_3} + \vec{A_3A_4} + \vec{A_4A_5} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n}\).

Далее, рассмотрим первые два слагаемых в новой сумме: \(\vec{A_1A_3} + \vec{A_3A_4}\). Снова применяя правило треугольника к точкам \(A_1\), \(A_3\), и \(A_4\), мы находим, что \(\vec{A_1A_3} + \vec{A_3A_4} = \vec{A_1A_4}\).

Продолжая этот процесс последовательного сложения, мы будем каждый раз заменять сумму двух векторов на один результирующий вектор. На каждом шаге мы будем иметь сумму вида \(\vec{A_1A_k} + \vec{A_kA_{k+1}}\), которая, согласно правилу треугольника, равна \(\vec{A_1A_{k+1}}\).

Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока мы не дойдем до последнего члена в исходной сумме.
После нескольких шагов мы получим:
\(\vec{A_1A_4} + \vec{A_4A_5} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n}\).
Затем:
\(\vec{A_1A_5} + \vec{A_5A_6} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n}\).
И так далее.

Предпоследний шаг этого процесса будет выглядеть следующим образом: мы получим сумму, где первый вектор будет \(\vec{A_1A_{n-1}}\), а второй вектор будет последним членом исходной суммы, то есть \(\vec{A_{n-1}A_n}\). Таким образом, сумма примет вид: \(\vec{A_1A_{n-1}} + \vec{A_{n-1}A_n}\).

Наконец, применяя правило треугольника к точкам \(A_1\), \(A_{n-1}\), и \(A_n\), мы получаем, что \(\vec{A_1A_{n-1}} + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\).

Таким образом, последовательно применяя правило сложения векторов, мы показали, что вся левая часть исходного равенства \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n}\) сводится к одному вектору \(\vec{A_1A_n}\).

Это полностью совпадает с правой частью данного равенства. Следовательно, равенство \(\vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \vec{A_3A_4} + \dots + \vec{A_{n-1}A_n} = \vec{A_1A_n}\) доказано.

Оцени решение