ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 499 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что для любых точек A, B, C, D, E выполняется равенство \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{0}\).
\(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA}\) (так как \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\)).
\(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{AD} + \vec{DE} + \vec{EA}\) (так как \(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\)).
\(\vec{AD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{AE} + \vec{EA}\) (так как \(\vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}\)).
\(\vec{AE} + \vec{EA} = \vec{AA}\).
\(\vec{AA} = \vec{0}\) (нулевой вектор).
Следовательно, \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} = \vec{0}\).
Рассмотрим сумму векторов \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA}\). Для решения этой задачи мы будем последовательно применять правило сложения векторов, известное как правило треугольника. Это правило гласит, что если конец одного вектора совпадает с началом другого вектора, то их сумма есть вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго.
Начнем с первых двух векторов в сумме: \(\vec{AB} + \vec{BC}\). Вектор \(\vec{AB}\) начинается в точке A и заканчивается в точке B. Вектор \(\vec{BC}\) начинается в точке B и заканчивается в точке C. Поскольку конец первого вектора (B) совпадает с началом второго вектора (B), их сумма будет вектором, который начинается в точке A и заканчивается в точке C. Таким образом, \(\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\).
Теперь подставим полученный результат обратно в исходное выражение. Наша сумма теперь выглядит как \(\vec{AC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA}\).
Далее рассмотрим следующую пару векторов: \(\vec{AC} + \vec{CD}\). Вектор \(\vec{AC}\) начинается в точке A и заканчивается в точке C. Вектор \(\vec{CD}\) начинается в точке C и заканчивается в точке D. Снова, конец первого вектора (C) совпадает с началом второго вектора (C). Следовательно, их сумма будет вектором, который начинается в точке A и заканчивается в точке D. То есть, \(\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD}\).
Подставляем этот результат в оставшуюся сумму: \(\vec{AD} + \vec{DE} + \vec{EA}\).
Переходим к следующей паре векторов: \(\vec{AD} + \vec{DE}\). Вектор \(\vec{AD}\) начинается в точке A и заканчивается в точке D. Вектор \(\vec{DE}\) начинается в точке D и заканчивается в точке E. Применяя правило треугольника, мы видим, что конец первого вектора (D) совпадает с началом второго вектора (D). Таким образом, их сумма есть вектор, который начинается в точке A и заканчивается в точке E. Следовательно, \(\vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AE}\).
Теперь наша сумма упростилась до \(\vec{AE} + \vec{EA}\).
Наконец, рассмотрим последнюю пару векторов: \(\vec{AE} + \vec{EA}\). Вектор \(\vec{AE}\) начинается в точке A и заканчивается в точке E. Вектор \(\vec{EA}\) начинается в точке E и заканчивается в точке A. Конец первого вектора (E) совпадает с началом второго вектора (E). Их сумма будет вектором, который начинается в точке A и заканчивается в точке A. То есть, \(\vec{AE} + \vec{EA} = \vec{AA}\).
Вектор, который начинается и заканчивается в одной и той же точке, называется нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается как \(\vec{0}\). Он не имеет определенного направления и его длина равна нулю.
Таким образом, \(\vec{AA} = \vec{0}\).
Следовательно, исходная сумма векторов \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA}\) равна \(\vec{0}\).
