ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 50 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Две стороны треугольника равны 15 см и 35 см, а угол, противолежащий большей из известных сторон, равен \(120^\circ\). Найдите периметр треугольника.

Краткий ответ:

Дано: \(AB = 15\) см, \(BC = 35\) см, \(\angle A = 120^\circ\)

По теореме косинусов: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\)

Подставляем: \(35^2 = 15^2 + AC^2 — 2 \cdot 15 \cdot AC \cdot \cos 120^\circ\)

Так как \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), получаем: \(1225 = 225 + AC^2 + 15 \cdot AC\)

Переносим все в левую часть: \(AC^2 + 15 AC — 1000 = 0\)

Вычисляем дискриминант: \(D = 15^2 + 4 \cdot 1000 = 4225\)

Корни уравнения: \(AC = \frac{-15 \pm \sqrt{4225}}{2} = \frac{-15 \pm 65}{2}\)

Отрицательный корень отбрасываем: \(AC = \frac{-15 + 65}{2} = 25\)

Периметр: \(P_{ABC} = AB + BC + AC = 15 + 35 + 25 = 75\) см

Подробный ответ:

В треугольнике \(ABC\) нам даны две стороны: \(AB = 15\) см и \(BC = 35\) см, а также угол при вершине \(A\), равный \(120^\circ\). Чтобы найти периметр треугольника, нужно знать длины всех трех сторон. Известно, что две стороны уже есть, а третью сторону \(AC\) можно найти с помощью теоремы косинусов, которая помогает вычислить сторону треугольника, если известны две другие стороны и угол между ними. Формула теоремы косинусов выглядит так: \(BC^2 = AB^2 + AC^2 — 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A\).

Подставим известные значения в формулу: \(35^2 = 15^2 + AC^2 — 2 \cdot 15 \cdot AC \cdot \cos 120^\circ\). Вычислим квадраты чисел: \(1225 = 225 + AC^2 — 30 \cdot AC \cdot \cos 120^\circ\). Теперь нужно заменить \(\cos 120^\circ\) на его числовое значение. Известно, что \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), поэтому уравнение становится: \(1225 = 225 + AC^2 + 15 \cdot AC\). Обратите внимание, знак перед последним слагаемым изменился на плюс, потому что умножение на отрицательное число изменило знак.

Далее перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение: \(AC^2 + 15 AC + 225 — 1225 = 0\), что упрощается до \(AC^2 + 15 AC — 1000 = 0\). Чтобы найти \(AC\), решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 15\), \(c = -1000\). Подставим: \(D = 15^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-1000) = 225 + 4000 = 4225\). Корни уравнения находятся по формуле \(AC = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), то есть \(AC = \frac{-15 \pm \sqrt{4225}}{2}\). Корень из 4225 равен 65, значит \(AC = \frac{-15 \pm 65}{2}\).

Из двух решений \(AC = \frac{-15 + 65}{2} = 25\) и \(AC = \frac{-15 — 65}{2} = -40\) отрицательное значение отбрасываем, так как длина не может быть отрицательной. Получаем \(AC = 25\) см. Теперь периметр треугольника равен сумме всех сторон: \(P_{ABC} = AB + BC + AC = 15 + 35 + 25 = 75\) см.

Оцени решение