ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 501 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В параллелограмме ABCD точки M, N, K — середины сторон соответственно AB, BC и CD. Выразите векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AD}\) через векторы \(\vec{MN} = \vec{m}\), \(\vec{KN} = \vec{n}\).

Рассмотрим четырехугольник AMKD. Так как ABCD — параллелограмм, \(AM \parallel KD\) и \(AM = \frac{1}{2}AB\), \(KD = \frac{1}{2}CD\). Поскольку \(AB = CD\), то \(AM = KD\). Следовательно, AMKD — параллелограмм. Из этого следует, что \(\vec{AD} = \vec{MK}\). В треугольнике MNK, \(\vec{MK} = \vec{MN} + \vec{NK}\). Известно, что \(\vec{MN} = \vec{m}\) и \(\vec{KN} = \vec{n}\), поэтому \(\vec{NK} = -\vec{n}\). Подставляя значения, получаем \(\vec{AD} = \vec{m} + (-\vec{n}) = \vec{m} — \vec{n}\).

Рассмотрим четырехугольник ABNE. Так как ABCD — параллелограмм, \(BN \parallel AE\) и \(BN = \frac{1}{2}BC\), \(AE = \frac{1}{2}AD\). Поскольку \(BC = AD\), то \(BN = AE\). Следовательно, ABNE — параллелограмм. Из этого следует, что \(\vec{BA} = \vec{NE}\). Вектор \(\vec{NE}\) можно представить как сумму векторов \(\vec{NM}\) и \(\vec{ME}\). Известно, что \(\vec{MN} = \vec{m}\), поэтому \(\vec{NM} = -\vec{m}\). По свойству средней линии треугольника, \(\vec{EM}\) в треугольнике ABD (где E — середина AD, M — середина AB) равен \(\frac{1}{2}\vec{DB}\). Аналогично, \(\vec{KN}\) в треугольнике CDB (где K — середина CD, N — середина BC) равен \(\frac{1}{2}\vec{DB}\). Из этого следует, что \(\vec{EM} = \vec{KN}\). Поскольку \(\vec{KN} = \vec{n}\), то \(\vec{EM} = \vec{n}\). Тогда \(\vec{ME} = -\vec{n}\). Подставляя значения, получаем \(\vec{BA} = -\vec{m} + (-\vec{n}) = -\vec{m} — \vec{n}\).

\(\vec{BA} = -\vec{m} — \vec{n}\); \(\vec{AD} = \vec{m} — \vec{n}\).

Для того чтобы найти векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AD}\) через заданные векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\), мы будем использовать свойства параллелограмма и правила сложения и вычитания векторов.

Сначала найдем вектор \(\vec{AD}\).
Рассмотрим четырехугольник AMKD. Мы знаем, что ABCD является параллелограммом, что означает, что сторона AB параллельна стороне CD, и их длины равны (\(AB = CD\)).
Точка M является серединой отрезка AB, поэтому длина отрезка AM составляет половину длины отрезка AB (\(AM = \frac{1}{2}AB\)).
Точка K является серединой отрезка CD, поэтому длина отрезка KD составляет половину длины отрезка CD (\(KD = \frac{1}{2}CD\)).
Поскольку \(AB = CD\), то из этого следует, что \(AM = KD\).
Также, так как AB параллельна CD, то отрезок AM параллелен отрезку KD.
Четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине, является параллелограммом. Следовательно, AMKD является параллелограммом.
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, что означает, что вектор \(\vec{AD}\) равен вектору \(\vec{MK}\) (\(\vec{AD} = \vec{MK}\)).
Теперь нам нужно выразить вектор \(\vec{MK}\) через заданные векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\).
Рассмотрим треугольник MNK. Согласно правилу сложения векторов (правилу треугольника), вектор \(\vec{MK}\) можно представить как сумму векторов \(\vec{MN}\) и \(\vec{NK}\) (\(\vec{MK} = \vec{MN} + \vec{NK}\)).
Нам дано, что \(\vec{MN} = \vec{m}\).
Также нам дано, что \(\vec{KN} = \vec{n}\). Вектор \(\vec{NK}\) является противоположным вектору \(\vec{KN}\), поэтому \(\vec{NK} = -\vec{KN} = -\vec{n}\).
Подставляем эти значения в выражение для \(\vec{MK}\): \(\vec{MK} = \vec{m} + (-\vec{n}) = \vec{m} — \vec{n}\).
Таким образом, мы нашли, что \(\vec{AD} = \vec{m} — \vec{n}\).

Теперь найдем вектор \(\vec{BA}\).
Рассмотрим четырехугольник ABNE. Мы знаем, что ABCD является параллелограммом, что означает, что сторона AD параллельна стороне BC, и их длины равны (\(AD = BC\)).
Точка N является серединой отрезка BC, поэтому длина отрезка BN составляет половину длины отрезка BC (\(BN = \frac{1}{2}BC\)).
Точка E является серединой отрезка AD, поэтому длина отрезка AE составляет половину длины отрезка AD (\(AE = \frac{1}{2}AD\)).
Поскольку \(AD = BC\), то из этого следует, что \(BN = AE\).
Также, так как AD параллельна BC, то отрезок AE параллелен отрезку BN.
Четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине, является параллелограммом. Следовательно, ABNE является параллелограммом.
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, что означает, что вектор \(\vec{BA}\) равен вектору \(\vec{NE}\) (\(\vec{BA} = \vec{NE}\)).
Теперь нам нужно выразить вектор \(\vec{NE}\) через заданные векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\).
Рассмотрим треугольник NME. Согласно правилу сложения векторов (правилу треугольника), вектор \(\vec{NE}\) можно представить как сумму векторов \(\vec{NM}\) и \(\vec{ME}\) (\(\vec{NE} = \vec{NM} + \vec{ME}\)).
Нам дано, что \(\vec{MN} = \vec{m}\). Вектор \(\vec{NM}\) является противоположным вектору \(\vec{MN}\), поэтому \(\vec{NM} = -\vec{MN} = -\vec{m}\).
Теперь нам нужно найти вектор \(\vec{ME}\).
Рассмотрим треугольник ABD. Точка E является серединой стороны AD, а точка M является серединой стороны AB. Отрезок EM соединяет середины двух сторон треугольника, что делает его средней линией. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине. Следовательно, вектор \(\vec{EM}\) равен половине вектора \(\vec{DB}\) (\(\vec{EM} = \frac{1}{2}\vec{DB}\)).
Теперь рассмотрим треугольник CDB. Точка K является серединой стороны CD, а точка N является серединой стороны BC. Отрезок KN соединяет середины двух сторон треугольника, что делает его средней линией. Следовательно, вектор \(\vec{KN}\) равен половине вектора \(\vec{DB}\) (\(\vec{KN} = \frac{1}{2}\vec{DB}\)).
Из этого следует, что \(\vec{EM} = \vec{KN}\).
Нам дано, что \(\vec{KN} = \vec{n}\). Поэтому, \(\vec{EM} = \vec{n}\).
Вектор \(\vec{ME}\) является противоположным вектору \(\vec{EM}\), поэтому \(\vec{ME} = -\vec{EM} = -\vec{n}\).
Теперь подставляем найденные векторы \(\vec{NM}\) и \(\vec{ME}\) в выражение для \(\vec{NE}\): \(\vec{NE} = -\vec{m} + (-\vec{n}) = -\vec{m} — \vec{n}\).
Таким образом, мы нашли, что \(\vec{BA} = -\vec{m} — \vec{n}\).

\(\vec{BA} = -\vec{m} — \vec{n}\); \(\vec{AD} = \vec{m} — \vec{n}\).