ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 502 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Выразите векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AD}\) через векторы \(\vec{DO} = \vec{a}\), \(\vec{OC} = \vec{b}\).
В параллелограмме \(ABCD\):
\(\vec{AO} = \vec{OC}\), \(\vec{BO} = \vec{OD}\).
Дано: \(\vec{DO} = \vec{a}\), \(\vec{OC} = \vec{b}\).
Следовательно: \(\vec{OD} = -\vec{a}\), \(\vec{AO} = \vec{b}\), \(\vec{BO} = -\vec{a}\), \(\vec{OA} = -\vec{b}\).
\(\vec{BA} = \vec{BO} + \vec{OA} = -\vec{a} — \vec{b}\).
\(\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = \vec{b} — \vec{a}\).
Давайте подробно разберем, как найти векторы \(\vec{BA}\) и \(\vec{AD}\) в данном параллелограмме.
У нас есть параллелограмм \(ABCD\), и точка \(O\) является точкой пересечения его диагоналей. Нам даны два вектора: \(\vec{DO} = \vec{a}\) и \(\vec{OC} = \vec{b}\).
Первое, что нужно вспомнить о параллелограмме, это одно из его ключевых свойств: диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам. Это означает, что точка \(O\) является серединой как диагонали \(AC\), так и диагонали \(BD\).
Теперь давайте используем это свойство для определения других векторов, связанных с точкой \(O\).
Поскольку \(O\) — середина диагонали \(BD\), это означает, что отрезки \(DO\) и \(OB\) равны по длине, и векторы \(\vec{DO}\) и \(\vec{OB}\) направлены в одну и ту же сторону, от \(D\) к \(O\) и от \(O\) к \(B\) соответственно. Таким образом, вектор \(\vec{OB}\) будет равен вектору \(\vec{DO}\).
Так как нам дано, что \(\vec{DO} = \vec{a}\), то мы можем заключить, что \(\vec{OB} = \vec{a}\).
Также, если мы хотим найти вектор \(\vec{OD}\), который направлен противоположно вектору \(\vec{DO}\), то \(\vec{OD} = -\vec{DO}\), то есть \(\vec{OD} = -\vec{a}\).
Аналогично, поскольку \(O\) — середина диагонали \(AC\), это означает, что отрезки \(AO\) и \(OC\) равны по длине, и векторы \(\vec{AO}\) и \(\vec{OC}\) направлены в одну и ту же сторону, от \(A\) к \(O\) и от \(O\) к \(C\) соответственно. Таким образом, вектор \(\vec{AO}\) будет равен вектору \(\vec{OC}\).
Так как нам дано, что \(\vec{OC} = \vec{b}\), то мы можем заключить, что \(\vec{AO} = \vec{b}\).
Если нам понадобится вектор \(\vec{OA}\), который направлен противоположно вектору \(\vec{AO}\), то \(\vec{OA} = -\vec{AO}\), то есть \(\vec{OA} = -\vec{b}\).
Теперь, когда у нас есть все необходимые вспомогательные векторы, мы можем приступить к нахождению искомых векторов \(\vec{BA}\) и \(\vec{AD}\).
Найдем вектор \(\vec{BA}\). Чтобы перейти от точки \(B\) к точке \(A\), мы можем пройти через точку \(O\). Используя правило сложения векторов (правило треугольника), мы можем сказать, что вектор \(\vec{BA}\) равен сумме векторов \(\vec{BO}\) и \(\vec{OA}\).
Мы уже определили, что \(\vec{OB} = \vec{a}\), поэтому \(\vec{BO}\) будет вектором, противоположным \(\vec{OB}\), то есть \(\vec{BO} = -\vec{a}\).
Также мы определили, что \(\vec{OA} = -\vec{b}\).
Теперь сложим эти векторы:
\(\vec{BA} = \vec{BO} + \vec{OA} = (-\vec{a}) + (-\vec{b}) = -\vec{a} — \vec{b}\).
Теперь найдем вектор \(\vec{AD}\). Чтобы перейти от точки \(A\) к точке \(D\), мы также можем пройти через точку \(O\). Вектор \(\vec{AD}\) равен сумме векторов \(\vec{AO}\) и \(\vec{OD}\).
Мы уже определили, что \(\vec{AO} = \vec{b}\).
И мы определили, что \(\vec{OD} = -\vec{a}\).
Теперь сложим эти векторы:
\(\vec{AD} = \vec{AO} + \vec{OD} = \vec{b} + (-\vec{a}) = \vec{b} — \vec{a}\).
Итак, мы получили:
\(\vec{BA} = -\vec{a} — \vec{b}\)
\(\vec{AD} = \vec{b} — \vec{a}\)
