ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 503 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что \(\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD} = \vec{MA} — \vec{DA}\), где M — произвольная точка.
\(\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD} = \vec{MB} + \vec{BD} = \vec{MD}\).
\(\vec{MA} — \vec{DA} = \vec{MA} + \vec{AD} = \vec{MD}\).
Таким образом, \(\vec{MD} = \vec{MD}\).
Что и требовалось доказать.
Для доказательства равенства \(\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD} = \vec{MA} — \vec{DA}\), где M является произвольной точкой в пространстве, мы последовательно преобразуем каждую часть данного векторного выражения, используя основные правила векторной алгебры.
Начнем с рассмотрения левой части равенства, которая представлена суммой трех векторов: \(\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD}\). Первым шагом мы применим правило сложения векторов, известное как правило треугольника, к первым двум слагаемым: \(\vec{MC} + \vec{CB}\). Согласно этому правилу, если конец первого вектора совпадает с началом второго вектора, то их сумма представляет собой вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго вектора. В данном случае, конец вектора \(\vec{MC}\) совпадает с началом вектора \(\vec{CB}\) (обе точки — C), поэтому их сумма \(\vec{MC} + \vec{CB}\) будет равна вектору \(\vec{MB}\). Этот вектор начинается в точке M и заканчивается в точке B.
Теперь, подставив полученный результат в исходное выражение левой части, мы получаем новое выражение: \(\vec{MB} + \vec{BD}\). Мы снова можем применить правило сложения векторов к этим двум векторам. Конец вектора \(\vec{MB}\) совпадает с началом вектора \(\vec{BD}\) (обе точки — B). Следовательно, их сумма \(\vec{MB} + \vec{BD}\) будет равна вектору \(\vec{MD}\). Этот вектор начинается в точке M и заканчивается в точке D. Таким образом, полностью преобразованная левая часть исходного равенства равна вектору \(\vec{MD}\).
Далее перейдем к правой части исходного равенства, которая имеет вид \(\vec{MA} — \vec{DA}\). Для работы с вычитанием векторов мы используем свойство, что вычитание вектора эквивалентно прибавлению противоположного вектора. Противоположным вектору \(\vec{DA}\) является вектор \(\vec{AD}\), то есть \(\vec{DA} = -\vec{AD}\). Следовательно, выражение \(\vec{MA} — \vec{DA}\) может быть переписано как \(\vec{MA} + (-\vec{DA})\), что равно \(\vec{MA} + \vec{AD}\).
Теперь, когда у нас есть сумма двух векторов \(\vec{MA} + \vec{AD}\), мы снова применяем правило сложения векторов. Конец вектора \(\vec{MA}\) совпадает с началом вектора \(\vec{AD}\) (обе точки — A). Согласно правилу треугольника, их сумма \(\vec{MA} + \vec{AD}\) будет равна вектору \(\vec{MD}\). Этот вектор начинается в точке M и заканчивается в точке D. Таким образом, полностью преобразованная правая часть исходного равенства также равна вектору \(\vec{MD}\).
Поскольку мы установили, что левая часть равенства \(\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD}\) преобразуется к вектору \(\vec{MD}\), и правая часть равенства \(\vec{MA} — \vec{DA}\) также преобразуется к вектору \(\vec{MD}\), то мы можем заключить, что обе части равны одному и тому же вектору. Следовательно, исходное равенство \(\vec{MC} + \vec{CB} + \vec{BD} = \vec{MA} — \vec{DA}\) является истинным, так как оно сводится к тождеству \(\vec{MD} = \vec{MD}\).
