ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 504 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Докажите, что \(\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC} = \vec{CD} + \vec{AC}\), где M — произвольная точка.
Дано: параллелограмм ABCD, M — произвольная точка.
Доказать: \(\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC} = \vec{CD} + \vec{AC}\).
Рассмотрим левую часть равенства:
\(\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC}\).
По правилу сложения векторов \(\vec{BM} + \vec{MD} = \vec{BD}\).
Тогда левая часть равна \(\vec{BD} + \vec{DC}\).
Снова по правилу сложения векторов \(\vec{BD} + \vec{DC} = \vec{BC}\).
Таким образом, левая часть равна \(\vec{BC}\).
Рассмотрим правую часть равенства:
\(\vec{CD} + \vec{AC}\).
В параллелограмме ABCD вектор \(\vec{CD}\) равен вектору \(\vec{BA}\) (противоположные стороны).
Вектор \(\vec{AC}\) по правилу сложения векторов равен \(\vec{AB} + \vec{BC}\).
Подставим это в правую часть: \(\vec{BA} + (\vec{AB} + \vec{BC})\).
Так как \(\vec{BA} = -\vec{AB}\), то выражение становится \((-\vec{AB}) + \vec{AB} + \vec{BC}\).
Это равно \(\vec{0} + \vec{BC}\), что равно \(\vec{BC}\).
Таким образом, правая часть равна \(\vec{BC}\).
Поскольку левая часть равна \(\vec{BC}\) и правая часть равна \(\vec{BC}\), то \(\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC} = \vec{CD} + \vec{AC}\), что и требовалось доказать.
Для того чтобы доказать данное векторное равенство, мы поочередно упростим левую и правую части выражения, используя основные правила векторной алгебры, в частности, правило треугольника для сложения векторов и свойства векторов в параллелограмме.
Начнем с рассмотрения левой части данного равенства, которая представлена суммой векторов \(\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC}\). Согласно правилу треугольника, если конец одного вектора совпадает с началом другого, то их сумма представляет собой вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. Применяя это правило к первым двум векторам, \(\vec{BM} + \vec{MD}\), мы видим, что конец вектора \(\vec{BM}\) (точка M) совпадает с началом вектора \(\vec{MD}\) (точка M). Следовательно, их сумма равна вектору \(\vec{BD}\). Таким образом, левая часть выражения преобразуется в \(\vec{BD} + \vec{DC}\).
Продолжая упрощение левой части, мы снова применяем правило треугольника к полученной сумме \(\vec{BD} + \vec{DC}\). В данном случае, конец вектора \(\vec{BD}\) (точка D) совпадает с началом вектора \(\vec{DC}\) (точка D). Это означает, что их сумма равна вектору \(\vec{BC}\), который начинается в точке B и заканчивается в точке C. Таким образом, после всех преобразований левая часть исходного равенства принимает вид \(\vec{BC}\).
Теперь перейдем к правой части исходного равенства, которая выражена как \(\vec{CD} + \vec{AC}\). Для упрощения этого выражения нам потребуется использовать свойства параллелограмма. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине, что означает, что соответствующие им векторы равны, если они имеют одно и то же направление. Вектор \(\vec{CD}\) направлен от C к D. В параллелограмме ABCD вектор \(\vec{AB}\) направлен от A к B и равен вектору \(\vec{DC}\). Соответственно, вектор \(\vec{CD}\) является вектором, противоположным вектору \(\vec{DC}\), то есть \(\vec{CD} = -\vec{DC}\). Поскольку \(\vec{DC} = \vec{AB}\), то \(\vec{CD} = -\vec{AB}\). Также мы знаем, что \(\vec{BA} = -\vec{AB}\), следовательно, \(\vec{CD} = \vec{BA}\).
Далее, для вектора \(\vec{AC}\), мы можем использовать правило треугольника. Вектор \(\vec{AC}\) представляет собой сумму векторов, идущих по пути от A к C. Один из таких путей — это переход от A к B, а затем от B к C. Таким образом, \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\). Подставим полученные выражения для \(\vec{CD}\) и \(\vec{AC}\) в правую часть равенства: \(\vec{BA} + (\vec{AB} + \vec{BC})\).
Теперь упростим полученное выражение для правой части: \(\vec{BA} + \vec{AB} + \vec{BC}\). Мы знаем, что вектор \(\vec{BA}\) является противоположным вектору \(\vec{AB}\), то есть \(\vec{BA} = -\vec{AB}\). Подставив это в выражение, получаем \((-\vec{AB}) + \vec{AB} + \vec{BC}\). Сумма вектора и его противоположного вектора равна нулевому вектору \(\vec{0}\). Следовательно, \((-\vec{AB}) + \vec{AB} = \vec{0}\). Таким образом, правая часть равенства упрощается до \(\vec{0} + \vec{BC}\), что равно \(\vec{BC}\).
В итоге, мы получили, что левая часть исходного равенства равна \(\vec{BC}\), и правая часть исходного равенства также равна \(\vec{BC}\). Поскольку обе части равенства равны одному и тому же вектору \(\vec{BC}\), это доказывает истинность исходного векторного равенства: \(\vec{BM} + \vec{MD} + \vec{DC} = \vec{CD} + \vec{AC}\).
