ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 505 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Докажите, что:

1) \(\vec{AD} — \vec{BA} + \vec{DB} — \vec{DC} = \vec{AB}\);

2) \(\vec{AB} + \vec{CA} — \vec{DA} = \vec{0}\).

1) \(\vec{AD} — \vec{BA} + \vec{DB} — \vec{DC} = \vec{AB}\);
\(\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB} + \vec{BA} + \vec{DC}\);
\(\vec{AB} = \vec{AA} + \vec{DC}\);
\(\vec{AB} = \vec{DC}\);
Что и требовалось доказать.

2) \(\vec{AB} + \vec{CA} — \vec{DA} = \vec{0}\);
\(\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{DA}\);
\(\vec{CB} = \vec{DA}\);
Что и требовалось доказать.

Рассмотрим первое векторное равенство, которое необходимо доказать: \(\vec{AD} — \vec{BA} + \vec{DB} — \vec{DC} = \vec{AB}\).

Начнем преобразование левой части данного равенства. Первым шагом мы заменим все вычитания векторов на сложения, используя свойство, что вычитание вектора эквивалентно прибавлению вектора, противоположного по направлению, то есть \(\vec{X} — \vec{Y} = \vec{X} + (-\vec{Y})\), а также свойство \((-\vec{Y}) = \vec{YX}\). Таким образом, \((-\vec{BA})\) становится \(\vec{AB}\), а \((-\vec{DC})\) становится \(\vec{CD}\).
После этой замены левая часть равенства примет вид: \(\vec{AD} + \vec{AB} + \vec{DB} + \vec{CD}\).

Теперь мы можем применить правило треугольника для сложения векторов. Обратим внимание на сумму векторов \(\vec{AD} + \vec{DB}\). Согласно правилу треугольника, если конец первого вектора совпадает с началом второго вектора, то их сумма есть вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, конец вектора \(\vec{AD}\) (точка D) совпадает с началом вектора \(\vec{DB}\) (точка D). Следовательно, их сумма \(\vec{AD} + \vec{DB}\) равна вектору \(\vec{AB}\).
Подставив это в наше выражение, получаем: \(\vec{AB} + \vec{AB} + \vec{CD}\).

Далее, воспользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, представляющие эти стороны, равны по модулю. Вектор \(\vec{AB}\) направлен от A к B. Вектор \(\vec{CD}\) направлен от C к D. Поскольку AB параллельна DC и равна ей по длине, то вектор \(\vec{AB}\) равен вектору \(\vec{DC}\). Однако в нашем выражении присутствует вектор \(\vec{CD}\), который является вектором, противоположным вектору \(\vec{DC}\). То есть, \(\vec{CD} = -\vec{DC}\). Так как \(\vec{DC} = \vec{AB}\), то \(\vec{CD} = -\vec{AB}\).
Заменим \(\vec{CD}\) на \((-\vec{AB})\) в нашем выражении: \(\vec{AB} + \vec{AB} + (-\vec{AB})\).

Наконец, упростим полученное выражение: \(\vec{AB} + \vec{AB} — \vec{AB} = \vec{AB}\).
Таким образом, левая часть равенства \(\vec{AD} — \vec{BA} + \vec{DB} — \vec{DC}\) оказалась равной \(\vec{AB}\), что совпадает с правой частью равенства. Следовательно, первое равенство доказано.

Рассмотрим второе векторное равенство, которое необходимо доказать: \(\vec{AB} + \vec{CA} — \vec{DA} = \vec{0}\).

Начнем преобразование левой части данного равенства. Первым шагом, как и в предыдущем случае, мы заменим вычитание вектора на сложение противоположного вектора. В данном случае, \((-\vec{DA})\) становится \(\vec{AD}\).
После этой замены левая часть равенства примет вид: \(\vec{AB} + \vec{CA} + \vec{AD}\).

Теперь перегруппируем слагаемые для более удобного применения правила треугольника. Переставим векторы так, чтобы конец одного вектора совпадал с началом другого: \(\vec{CA} + \vec{AD} + \vec{AB}\).
Обратим внимание на сумму векторов \(\vec{CA} + \vec{AD}\). По правилу треугольника, если конец вектора \(\vec{CA}\) (точка A) совпадает с началом вектора \(\vec{AD}\) (точка A), то их сумма \(\vec{CA} + \vec{AD}\) равна вектору \(\vec{CD}\).
Подставив это в наше выражение, получаем: \(\vec{CD} + \vec{AB}\).

Далее, воспользуемся свойствами параллелограмма. В параллелограмме ABCD стороны AB и DC параллельны и равны по длине. Это означает, что вектор \(\vec{AB}\) (направленный от A к B) и вектор \(\vec{DC}\) (направленный от D к C) являются равными векторами, то есть \(\vec{AB} = \vec{DC}\). В нашем выражении присутствует вектор \(\vec{CD}\), который направлен от C к D. Вектор \(\vec{CD}\) является вектором, противоположным вектору \(\vec{DC}\). То есть, \(\vec{CD} = -\vec{DC}\). Поскольку \(\vec{DC} = \vec{AB}\), то мы можем заменить \(\vec{CD}\) на \((-\vec{AB})\).
Заменим \(\vec{CD}\) на \((-\vec{AB})\) в нашем выражении: \((-\vec{AB}) + \vec{AB}\).

Наконец, упростим полученное выражение: \((-\vec{AB}) + \vec{AB} = \vec{0}\).
Таким образом, левая часть равенства \(\vec{AB} + \vec{CA} — \vec{DA}\) оказалась равной нулевому вектору \(\vec{0}\), что совпадает с правой частью равенства. Следовательно, второе равенство доказано.