ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 506 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольнике ABC проведена медиана BM. Докажите, что:
1) \(\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0}\);
2) \(\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0}\).
1) \(\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0}\);
Перенесем \(\vec{MA}\) в правую часть: \(\vec{MB} + \vec{BC} = -\vec{MA}\);
По правилу сложения векторов для треугольника: \(\vec{MB} + \vec{BC} = \vec{MC}\);
Так как M — середина отрезка AC, то \(\vec{MC}\) и \(\vec{MA}\) противоположны, то есть \(\vec{MC} = -\vec{MA}\);
Поскольку \(\vec{AM} = -\vec{MA}\), то \(\vec{MC} = \vec{AM}\);
Что и требовалось доказать.
2) \(\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0}\);
Перенесем \(\vec{MB} + \vec{BA}\) в правую часть: \(\vec{MA} + \vec{AC} = -(\vec{MB} + \vec{BA})\);
По правилу сложения векторов для треугольника: \(\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}\);
По правилу сложения векторов для треугольника: \(\vec{MB} + \vec{BA} = \vec{MA}\);
Подставим эти равенства в \(\vec{MA} + \vec{AC} = -(\vec{MB} + \vec{BA})\), получим \(\vec{MC} = -\vec{MA}\);
Поскольку \(\vec{AM} = -\vec{MA}\), то \(\vec{MC} = \vec{AM}\);
Что и требовалось доказать.
Нам дано, что в треугольнике ABC точка M является серединой отрезка AC. Это означает, что вектор \(\vec{MA}\) и вектор \(\vec{MC}\) имеют одинаковую длину, но противоположное направление, то есть \(\vec{MA} = -\vec{MC}\) или \(\vec{MC} = -\vec{MA}\). Также, вектор \(\vec{AM}\) равен вектору \(\vec{MC}\).
1) Доказать: \(\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0}\).
Для доказательства этого равенства, мы можем перенести вектор \(\vec{MA}\) в правую часть уравнения, чтобы показать, что сумма первых двух векторов равна противоположному третьему вектору. Таким образом, нам нужно доказать, что \(\vec{MB} + \vec{BC} = -\vec{MA}\).
Рассмотрим левую часть этого нового равенства: \(\vec{MB} + \vec{BC}\). Согласно правилу сложения векторов для треугольника, если конец первого вектора совпадает с началом второго вектора (в данном случае, конец вектора \(\vec{MB}\) — точка B — совпадает с началом вектора \(\vec{BC}\) — точка B), то их сумма — это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. Следовательно, сумма векторов \(\vec{MB} + \vec{BC}\) равна вектору \(\vec{MC}\).
Теперь рассмотрим правую часть исходного уравнения, которая после переноса стала \(\vec{MA}\). Мы знаем, что точка M является серединой отрезка AC. Это ключевое свойство означает, что векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{MC}\) лежат на одной прямой, имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Следовательно, вектор \(\vec{MC}\) является противоположным вектору \(\vec{MA}\). Это математически записывается как \(\vec{MC} = -\vec{MA}\).
Таким образом, мы показали, что \(\vec{MB} + \vec{BC}\) равно \(\vec{MC}\), и что \(\vec{MC}\) равно \(\vec{MA}\) с противоположным знаком. Из этого следует, что \(\vec{MB} + \vec{BC} = -\vec{MA}\). Если мы теперь вернем вектор \(\vec{MA}\) обратно в левую часть равенства, мы получим \(\vec{MB} + \vec{BC} + \vec{MA} = \vec{0}\).
Дополнительно, поскольку вектор \(\vec{AM}\) — это вектор, идущий от A к M, он противоположен вектору \(\vec{MA}\), то есть \(\vec{AM} = -\vec{MA}\). Следовательно, мы можем записать \(\vec{MC} = \vec{AM}\). Это подтверждает, что векторы \(\vec{MC}\) и \(\vec{AM}\) равны, что логично, так как M — середина отрезка AC.
Что и требовалось доказать.
2) Доказать: \(\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0}\).
Нам дано векторное равенство \(\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0}\). Для доказательства этого равенства, мы можем перенести часть векторов в правую сторону, чтобы продемонстрировать эквивалентность. Перенесем сумму векторов \(\vec{MB} + \vec{BA}\) в правую часть, меняя ее знак. Тогда равенство примет вид: \(\vec{MA} + \vec{AC} = -(\vec{MB} + \vec{BA})\).
Теперь рассмотрим левую часть этого нового равенства: \(\vec{MA} + \vec{AC}\). Применяя правило сложения векторов для треугольника, если конец первого вектора (точка A) совпадает с началом второго вектора (точка A), то их сумма — это вектор, идущий от начала первого вектора (точка M) к концу второго вектора (точка C). Таким образом, \(\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}\).
Далее, рассмотрим выражение в скобках в правой части: \(\vec{MB} + \vec{BA}\). Применяя то же правило сложения векторов для треугольника, конец вектора \(\vec{MB}\) (точка B) совпадает с началом вектора \(\vec{BA}\) (точка B). Следовательно, их сумма \(\vec{MB} + \vec{BA}\) равна вектору, идущему от начала первого вектора (точка M) к концу второго вектора (точка A). То есть, \(\vec{MB} + \vec{BA} = \vec{MA}\).
Теперь подставим полученные результаты в равенство \(\vec{MA} + \vec{AC} = -(\vec{MB} + \vec{BA})\). Мы получаем: \(\vec{MC} = -\vec{MA}\).
Это равенство \(\vec{MC} = -\vec{MA}\) является истинным, поскольку точка M является серединой отрезка AC. Это означает, что векторы \(\vec{MC}\) (от M до C) и \(\vec{MA}\) (от M до A) имеют одинаковую длину, но направлены в противоположные стороны. Следовательно, один вектор является противоположным другому.
Дополнительно, мы знаем, что вектор \(\vec{AM}\) (от A до M) является противоположным вектору \(\vec{MA}\) (от M до A), то есть \(\vec{AM} = -\vec{MA}\). Подставив это в равенство \(\vec{MC} = -\vec{MA}\), мы получаем \(\vec{MC} = \vec{AM}\). Это также подтверждает, что M является серединой отрезка AC, так как векторы, идущие от концов отрезка к его середине, равны по модулю и направлены к ней, или векторы от середины к концам противоположны.
Поскольку мы доказали, что \(\vec{MC} = -\vec{MA}\), то, перенеся \(\vec{MA}\) обратно в левую часть, мы получаем \(\vec{MC} + \vec{MA} = \vec{0}\). Изначальное равенство \(\vec{MA} + \vec{AC} + \vec{MB} + \vec{BA} = \vec{0}\) также сводится к этому, так как \(\vec{MA} + \vec{AC} = \vec{MC}\) и \(\vec{MB} + \vec{BA} = \vec{MA}\), что дает \(\vec{MC} + \vec{MA} = \vec{0}\).
Что и требовалось доказать.
