ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 507 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что для неколлинеарных векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выполняется неравенство \(|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\).

Краткий ответ:

Пусть \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{BC}\).
Тогда \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}\).
Так как векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, точки \(A\), \(B\), \(C\) образуют треугольник.
По неравенству треугольника, длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
Следовательно, \(AC < AB + BC\).
Это эквивалентно \(|\vec{AC}| < |\vec{AB}| + |\vec{BC}|\).
Или \(|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\).

Подробный ответ:

Для доказательства неравенства \(|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\) для неколлинеарных векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) мы будем использовать геометрическую интерпретацию векторов и фундаментальное свойство треугольника, известное как неравенство треугольника.

Представим вектор \(\vec{a}\) как направленный отрезок, начинающийся в точке \(A\) и заканчивающийся в точке \(B\). Таким образом, \(\vec{a} = \vec{AB}\). Длина этого вектора, обозначаемая \(|\vec{a}|\), численно равна длине отрезка \(AB\).

Далее, представим вектор \(\vec{b}\) как направленный отрезок, начинающийся в точке \(B\) и заканчивающийся в точке \(C\). Таким образом, \(\vec{b} = \vec{BC}\). Длина этого вектора, обозначаемая \(|\vec{b}|\), численно равна длине отрезка \(BC\).

Согласно правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) будет представлена направленным отрезком, начинающимся в начальной точке первого вектора (\(A\)) и заканчивающимся в конечной точке второго вектора (\(C\)). Следовательно, \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Длина суммы этих векторов, обозначаемая \(|\vec{a} + \vec{b}|\), численно равна длине отрезка \(AC\).

Ключевым моментом в этом доказательстве является условие, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются неколлинеарными. Это означает, что они не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Если \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то точки \(A\), \(B\) и \(C\) не могут лежать на одной прямой. Вместо этого они образуют вершины невырожденного треугольника \(ABC\).

Теперь мы можем применить хорошо известное геометрическое неравенство треугольника. Это неравенство утверждает, что в любом треугольнике сумма длин двух сторон всегда строго больше длины третьей стороны. Применительно к треугольнику \(ABC\), это означает, что длина стороны \(AC\) должна быть строго меньше суммы длин сторон \(AB\) и \(BC\). Математически это записывается как \(AC < AB + BC\).

Подставляя обозначения длин векторов в это геометрическое неравенство, мы получаем: \(|\vec{AC}| < |\vec{AB}| + |\vec{BC}|\). Заменяя эти длины на соответствующие обозначения векторов, мы окончательно приходим к неравенству: \(|\vec{a} + \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Строгое неравенство (<) возникает именно из-за условия неколлинеарности векторов, которое гарантирует, что точки \(A\), \(B\), \(C\) образуют настоящий треугольник, а не вырожденный случай, когда все три точки лежат на одной прямой, при котором было бы равенство.

Оцени решение