ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 508 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что для неколлинеарных векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выполняется неравенство \(|\vec{a} — \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\).

Краткий ответ:

Рассмотрим треугольник ABC, где \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{CB} = \vec{b}\).
Тогда \(\vec{BC} = -\vec{b}\).
По правилу сложения векторов, \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} — \vec{b}\).
Длины сторон треугольника ABC равны: \(|\vec{AB}| = |\vec{a}|\), \(|\vec{BC}| = |-\vec{b}| = |\vec{b}|\), \(|\vec{AC}| = |\vec{a} — \vec{b}|\).
Поскольку векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, точки A, B, C образуют невырожденный треугольник.
Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон треугольника больше длины третьей стороны: \(AC < AB + BC\).
Подставляя длины сторон, выраженные через модули векторов, получаем: \(|\vec{a} — \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\).
Что и требовалось доказать.

Подробный ответ:

Для доказательства неравенства \(|\vec{a} — \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\) для неколлинеарных векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), мы будем использовать геометрическую интерпретацию векторов и фундаментальное свойство треугольника, известное как неравенство треугольника.

Представим векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) как направленные отрезки в пространстве. Пусть начало вектора \(\vec{a}\) находится в точке A, а его конец — в точке B. Таким образом, вектор \(\vec{AB}\) соответствует вектору \(\vec{a}\), то есть \(\vec{AB} = \vec{a}\). Длина этого вектора равна \(|\vec{AB}| = |\vec{a}|\).

Далее, рассмотрим вектор \(\vec{b}\). Мы можем расположить его таким образом, чтобы его конец совпадал с концом вектора \(\vec{a}\), то есть в точке B. Пусть начало вектора \(\vec{b}\) находится в точке C, а его конец — в точке B. Тогда вектор \(\vec{CB}\) соответствует вектору \(\vec{b}\), то есть \(\vec{CB} = \vec{b}\). Длина этого вектора равна \(|\vec{CB}| = |\vec{b}|\).

Теперь нам необходимо найти вектор, который соединяет начало первого вектора (точку A) с началом второго вектора (точку C). Для этого воспользуемся правилом сложения векторов (правилом треугольника). Чтобы применить это правило, нам нужно, чтобы конец одного вектора совпадал с началом другого. У нас есть \(\vec{AB}\) и \(\vec{CB}\). Для сложения нам нужен вектор \(\vec{BC}\). Вектор \(\vec{BC}\) является противоположным вектору \(\vec{CB}\). Если \(\vec{CB} = \vec{b}\), то \(\vec{BC} = -\vec{b}\). Длина вектора \(\vec{BC}\) равна \(|\vec{BC}| = |-\vec{b}| = |\vec{b}|\).

Теперь мы можем сложить векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\). По правилу треугольника, вектор, соединяющий начало первого вектора с концом второго, будет их суммой: \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}\). Подставляя выражения для этих векторов, получаем: \(\vec{AC} = \vec{a} + (-\vec{b}) = \vec{a} — \vec{b}\). Таким образом, вектор \(\vec{AC}\) представляет собой разность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Длина этого вектора равна \(|\vec{AC}| = |\vec{a} — \vec{b}|\).

У нас сформировался треугольник с вершинами A, B и C. Стороны этого треугольника имеют длины, соответствующие модулям наших векторов: длина стороны AB равна \(|\vec{a}|\), длина стороны BC равна \(|\vec{b}|\), и длина стороны AC равна \(|\vec{a} — \vec{b}|\).

Ключевым моментом в этом доказательстве является условие, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются неколлинеарными. Это означает, что они не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Если векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) неколлинеарны, то точки A, B и C не могут лежать на одной прямой. Следовательно, они образуют истинный, невырожденный треугольник.

Для любого невырожденного треугольника справедливо неравенство треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон всегда больше длины третьей стороны. Применяя это свойство к нашему треугольнику ABC, мы можем записать неравенство для сторон AC, AB и BC: \(AC < AB + BC\).

Наконец, подставляя вместо обозначений сторон их векторные модули, которые мы определили ранее, мы получаем искомое неравенство: \(|\vec{a} — \vec{b}| < |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Это завершает доказательство данного неравенства для неколлинеарных векторов.

Оцени решение