ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 509 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Для ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выполняется равенство \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Докажите, что \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\).

Пусть даны ненулевые векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
Представим вектор \(\vec{a}\) как \(\vec{AB}\) (вектор из точки A в точку B), а вектор \(\vec{b}\) как \(\vec{BC}\) (вектор из точки B в точку C).
Тогда сумма векторов \(\vec{a} + \vec{b}\) будет вектором \(\vec{AC}\) (вектор из точки A в точку C), то есть \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{AC}\).
Исходное условие \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\) можно переписать как \(|\vec{AC}| = |\vec{AB}| + |\vec{BC}|\).
Это означает, что длина отрезка AC равна сумме длин отрезков AB и BC, то есть \(AC = AB + BC\).
Такое равенство возможно только в том случае, если точка B лежит на отрезке AC.
Если точка B лежит на отрезке AC, то точки A, B и C лежат на одной прямой, и векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) направлены в одну и ту же сторону.
Следовательно, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены, что записывается как \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\).

Пусть даны два ненулевых вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Нам дано условие, что сумма их модулей равна модулю их суммы: \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Требуется доказать, что из этого условия следует, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) сонаправлены, то есть \(\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}\).

Для наглядности и понимания сути задачи представим векторы геометрически. Вектор можно изобразить как направленный отрезок. Пусть вектор \(\vec{a}\) начинается в некоторой точке A и заканчивается в точке B. Тогда мы можем записать \(\vec{a} = \vec{AB}\). Модуль этого вектора, \(|\vec{a}|\), представляет собой длину отрезка AB, которую мы обозначим как \(AB\).

Аналогично, пусть вектор \(\vec{b}\) начинается в точке B, там, где закончился вектор \(\vec{a}\), и заканчивается в некоторой точке C. Тогда мы можем записать \(\vec{b} = \vec{BC}\). Модуль этого вектора, \(|\vec{b}|\), представляет собой длину отрезка BC, которую мы обозначим как \(BC\).

Теперь рассмотрим сумму векторов \(\vec{a} + \vec{b}\). Согласно правилу треугольника для сложения векторов, если вектор \(\vec{a}\) представлен отрезком \(\vec{AB}\), а вектор \(\vec{b}\) представлен отрезком \(\vec{BC}\), то их сумма \(\vec{a} + \vec{b}\) будет представлена вектором, идущим от начальной точки первого вектора (A) к конечной точке второго вектора (C). Таким образом, \(\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}\). Модуль суммы векторов, \(|\vec{a} + \vec{b}|\), будет равен длине отрезка AC, которую мы обозначим как \(AC\).

Теперь подставим эти геометрические интерпретации в исходное данное условие \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Это равенство преобразуется в соотношение между длинами отрезков: \(AC = AB + BC\).

Это равенство \(AC = AB + BC\) имеет очень важное геометрическое значение. В общем случае, для любых трех точек A, B и C, сумма длин двух сторон треугольника всегда больше или равна длине третьей стороны. То есть, \(AB + BC \ge AC\). Равенство \(AB + BC = AC\) выполняется только в одном единственном случае: когда точка B лежит на отрезке AC. Это означает, что все три точки A, B и C являются коллинеарными, то есть лежат на одной прямой, и точка B находится между точками A и C.

Если точка B лежит на отрезке AC, то это автоматически означает, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) направлены вдоль одной и той же прямой и в одном и том же направлении. Вектор \(\vec{AB}\) указывает от A к B, а вектор \(\vec{BC}\) указывает от B к C. Поскольку B находится между A и C, оба вектора указывают в одном общем направлении вдоль прямой AC.

Поскольку мы изначально определили \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{BC}\), то из того, что векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{BC}\) сонаправлены, следует, что и векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) также сонаправлены. Таким образом, условие \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\) строго доказывает сонаправленность векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).