ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 51 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
На стороне \(BC\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(D\) так, что \(CD = 14\) см. Найдите отрезок \(AD\), если \(AB = 37\) см, \(BC = 44\) см и \(AC = 15\) см.
Дано: \(AB = 37\), \(BC = 44\), \(AC = 15\), \(CD = 14\). Найти \(AD\).
Рассмотрим треугольник \(ABC\):
\(AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C\)
\(37^2 = 15^2 + 44^2 — 2 \cdot 15 \cdot 44 \cdot \cos \angle C\)
\(1369 = 225 + 1936 — 1320 \cos \angle C\)
\(1320 \cos \angle C = 225 + 1936 — 1369 = 792\)
\(\cos \angle C = \frac{792}{1320} = \frac{3}{5}\).
Рассмотрим треугольник \(ADC\):
\(AD^2 = AC^2 + CD^2 — 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \angle C\)
\(AD^2 = 15^2 + 14^2 — 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5}\)
\(AD^2 = 225 + 196 — 252 = 169\)
\(AD = \sqrt{169} = 13\).
Ответ: \(13\) см.
Дано, что длины сторон треугольника \(ABC\) равны: \(AB = 37\), \(BC = 44\), \(AC = 15\), а также известно, что длина отрезка \(CD = 14\). Нужно найти длину отрезка \(AD\). Для этого сначала найдем угол при вершине \(C\) в треугольнике \(ABC\), так как он понадобится для дальнейших вычислений.
Используем теорему косинусов для треугольника \(ABC\), которая гласит, что квадрат стороны \(AB\) равен сумме квадратов сторон \(AC\) и \(BC\) минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Запишем это как: \(AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos \angle C\). Подставим известные значения: \(37^2 = 15^2 + 44^2 — 2 \cdot 15 \cdot 44 \cdot \cos \angle C\). Вычислим квадраты: \(1369 = 225 + 1936 — 1320 \cos \angle C\). Сложим 225 и 1936: \(1369 = 2161 — 1320 \cos \angle C\). Перенесем 2161 в левую часть и изменим знак: \(1320 \cos \angle C = 2161 — 1369 = 792\). Найдем косинус угла: \(\cos \angle C = \frac{792}{1320} = \frac{3}{5}\).
Теперь рассмотрим треугольник \(ADC\), в котором нам нужно найти сторону \(AD\). Известно, что \(AC = 15\), \(CD = 14\), и угол при вершине \(C\) такой же, как в треугольнике \(ABC\), то есть его косинус равен \(\frac{3}{5}\). Применим теорему косинусов к треугольнику \(ADC\): \(AD^2 = AC^2 + CD^2 — 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos \angle C\). Подставим значения: \(AD^2 = 15^2 + 14^2 — 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5}\). Вычислим квадраты: \(AD^2 = 225 + 196 — 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5}\). Сложим 225 и 196: \(AD^2 = 421 — 2 \cdot 15 \cdot 14 \cdot \frac{3}{5}\).
Теперь вычислим произведение: \(2 \cdot 15 \cdot 14 = 420\). Умножим на \(\frac{3}{5}\): \(420 \cdot \frac{3}{5} = 420 \cdot 0.6 = 252\). Получаем: \(AD^2 = 421 — 252 = 169\). Найдем корень квадратный: \(AD = \sqrt{169} = 13\). Таким образом, длина отрезка \(AD\) равна 13 см.
