ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 510 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Для ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выполняется равенство \(|\vec{a} — \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Докажите, что \(\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}\).

Дано равенство \(|\vec{a} — \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\) для ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

Возведем обе части равенства в квадрат: \( (|\vec{a} — \vec{b}|)^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 \).

Используя свойство \(|\vec{x}|^2 = \vec{x}^2\) и раскрывая скобки, получаем:
\( (\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2 \).

Раскроем скалярное произведение в левой части:
\( \vec{a}^2 — 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b}^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2 \).

Поскольку \( \vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 \) и \( \vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 \), равенство примет вид:
\( |\vec{a}|^2 — 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2 \).

Вычтем \( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 \) из обеих частей уравнения:
\( -2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}| \).

Разделим обе части на \(-2\):
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}| \).

Мы знаем, что скалярное произведение векторов также выражается как \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \), где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Подставим это в предыдущее равенство:
\( |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}| \).

Так как векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ненулевые, то \( |\vec{a}| \neq 0 \) и \( |\vec{b}| \neq 0 \), следовательно, \( |\vec{a}||\vec{b}| \neq 0 \). Разделим обе части на \( |\vec{a}||\vec{b}| \):
\( \cos\theta = -1 \).

Единственный угол \(\theta\) в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\), для которого \(\cos\theta = -1\), это \( \theta = 180^\circ \). Угол \(180^\circ\) между векторами означает, что они коллинеарны и направлены в противоположные стороны. Это обозначается как \( \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} \).

Дано, что для ненулевых векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) выполняется равенство \(|\vec{a} — \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|\). Наша задача — доказать, что из этого равенства следует, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) направлены противоположно, то есть \( \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} \).

Для начала мы возведем обе части данного равенства в квадрат. Это позволит нам избавиться от знаков модуля и перейти к работе со скалярными произведениями векторов. Таким образом, мы получаем: \( (|\vec{a} — \vec{b}|)^2 = (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 \).

Рассмотрим левую часть равенства: \( (|\vec{a} — \vec{b}|)^2 \). Мы знаем, что квадрат модуля вектора равен скалярному произведению этого вектора на самого себя. То есть, для любого вектора \(\vec{x}\), \( |\vec{x}|^2 = \vec{x} \cdot \vec{x} \). Применяя это свойство к вектору \( (\vec{a} — \vec{b}) \), получаем: \( (|\vec{a} — \vec{b}|)^2 = (\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) \). Раскроем это скалярное произведение, используя дистрибутивность: \( (\vec{a} — \vec{b}) \cdot (\vec{a} — \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} — \vec{a} \cdot \vec{b} — \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b} \). Так как скалярное произведение коммутативно, то есть \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \), и \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \), а \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \), левая часть преобразуется к виду: \( |\vec{a}|^2 — 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 \).

Теперь рассмотрим правую часть равенства: \( (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 \). Это обычный квадрат суммы двух чисел (в данном случае, модулей векторов). Раскрываем его по формуле \((x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\): \( (|\vec{a}| + |\vec{b}|)^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2 \).

Приравниваем преобразованные левую и правую части исходного равенства: \( |\vec{a}|^2 — 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}| + |\vec{b}|^2 \).

Мы можем вычесть \( |\vec{a}|^2 \) и \( |\vec{b}|^2 \) из обеих частей уравнения, так как они присутствуют с одинаковыми знаками. После этого сокращения уравнение примет вид: \( -2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 2|\vec{a}||\vec{b}| \).

Далее, разделим обе части полученного уравнения на \( -2 \). Это допустимо, поскольку \( -2 \) является ненулевым числом. В результате деления получаем: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}| \).

Теперь воспользуемся определением скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) также может быть выражено через их модули и косинус угла \(\theta\) между ними: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \). Подставим это выражение в наше уравнение: \( |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}| \).

По условию задачи, векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) являются ненулевыми. Это означает, что их модули \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) строго больше нуля. Следовательно, произведение \( |\vec{a}||\vec{b}| \) также строго больше нуля. Это позволяет нам разделить обе части уравнения \( |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = -|\vec{a}||\vec{b}| \) на \( |\vec{a}||\vec{b}| \). В результате получаем: \( \cos\theta = -1 \).

Нам осталось определить угол \(\theta\) между векторами, для которого косинус равен \(-1\). Угол между векторами по определению находится в диапазоне от \(0^\circ\) до \(180^\circ\) (или от \(0\) до \(\pi\) радиан). Единственное значение угла в этом диапазоне, для которого \( \cos\theta = -1 \), это \( \theta = 180^\circ \) (или \( \pi \) радиан).

Угол в \(180^\circ\) между двумя ненулевыми векторами означает, что эти векторы лежат на одной прямой (коллинеарны) и направлены в противоположные стороны. Это как раз и является определением того, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) направлены противоположно, что обозначается как \( \vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b} \). Таким образом, мы доказали исходное утверждение.