ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 511 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 5; 2; 3;

2) 4; 6; 3;

3) 8; 9; 18?

Чтобы сумма трех векторов была нулевым вектором, их длины должны быть такими, чтобы из них можно было составить треугольник. Это значит, что сумма длин любых двух векторов должна быть больше или равна длине третьего вектора.

1) Длины векторов: 5, 2, 3.
Проверим:
\(2 + 3 = 5\). Это равно третьей длине.
\(5 + 2 = 7\), что больше 3.
\(5 + 3 = 8\), что больше 2.
Так как \(2 + 3 = 5\), эти векторы могут быть расположены на одной прямой, и их сумма может быть равна нулю.
Ответ: да.

2) Длины векторов: 4, 6, 3.
Проверим:
\(4 + 3 = 7\), что больше 6.
\(4 + 6 = 10\), что больше 3.
\(6 + 3 = 9\), что больше 4.
Все условия выполняются, значит, из этих длин можно составить треугольник, и сумма векторов может быть равна нулю.
Ответ: да.

3) Длины векторов: 8, 9, 18.
Проверим:
\(8 + 9 = 17\). Это меньше 18.
Так как \(8 + 9 < 18\), из этих длин нельзя составить треугольник. Значит, сумма векторов не может быть равна нулю.
Ответ: нет.

Для того чтобы сумма трех векторов была нулевым вектором, необходимо и достаточно, чтобы эти векторы могли образовать замкнутый треугольник (или быть коллинеарными, что является вырожденным случаем треугольника). Это условие математически выражается через неравенство треугольника: сумма длин любых двух векторов должна быть больше или равна длине третьего вектора.

Рассмотрим первый набор модулей векторов: 5, 2, 3.
Пусть длины векторов будут \(a = 5\), \(b = 2\), \(c = 3\).
Проверим выполнение неравенства треугольника для всех комбинаций:
1. Сумма длин первых двух векторов по отношению к третьему: \(a + b \ge c \Rightarrow 5 + 2 \ge 3 \Rightarrow 7 \ge 3\). Это утверждение истинно.
2. Сумма длин первого и третьего векторов по отношению ко второму: \(a + c \ge b \Rightarrow 5 + 3 \ge 2 \Rightarrow 8 \ge 2\). Это утверждение истинно.
3. Сумма длин второго и третьего векторов по отношению к первому: \(b + c \ge a \Rightarrow 2 + 3 \ge 5 \Rightarrow 5 \ge 5\). Это утверждение истинно.
Поскольку все три условия неравенства треугольника выполнены, эти векторы могут быть расположены таким образом, что их сумма будет равна нулевому вектору. В данном случае, так как \(2 + 3 = 5\), это означает, что два меньших вектора, направленные в одну сторону, могут в точности компенсировать больший вектор, направленный в противоположную сторону, если все три вектора коллинеарны.
Ответ: да.

Рассмотрим второй набор модулей векторов: 4, 6, 3.
Пусть длины векторов будут \(a = 4\), \(b = 6\), \(c = 3\).
Проверим выполнение неравенства треугольника для всех комбинаций:
1. Сумма длин первых двух векторов по отношению к третьему: \(a + b \ge c \Rightarrow 4 + 6 \ge 3 \Rightarrow 10 \ge 3\). Это утверждение истинно.
2. Сумма длин первого и третьего векторов по отношению ко второму: \(a + c \ge b \Rightarrow 4 + 3 \ge 6 \Rightarrow 7 \ge 6\). Это утверждение истинно.
3. Сумма длин второго и третьего векторов по отношению к первому: \(b + c \ge a \Rightarrow 6 + 3 \ge 4 \Rightarrow 9 \ge 4\). Это утверждение истинно.
Поскольку все три условия неравенства треугольника выполнены, эти векторы могут образовать треугольник. Следовательно, их сумма может быть равна нулевому вектору.
Ответ: да.

Рассмотрим третий набор модулей векторов: 8, 9, 18.
Пусть длины векторов будут \(a = 8\), \(b = 9\), \(c = 18\).
Проверим выполнение неравенства треугольника для всех комбинаций:
1. Сумма длин первых двух векторов по отношению к третьему: \(a + b \ge c \Rightarrow 8 + 9 \ge 18 \Rightarrow 17 \ge 18\). Это утверждение ложно.
Поскольку одно из условий неравенства треугольника не выполнено (сумма длин двух сторон меньше длины третьей стороны), невозможно построить треугольник с такими длинами сторон. Это означает, что три вектора с такими модулями не могут быть расположены таким образом, чтобы их сумма равнялась нулевому вектору.
Ответ: нет.