ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 512 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Известно, что \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}\). Докажите, что ABCD — параллелограмм.
В четырехугольнике ABCD:
\(\vec{OA} \parallel \vec{OC}\), \(\vec{OB} \parallel \vec{OD}\);
\(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}\);
\(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}\), \(\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}\);
\(\vec{OA} = \vec{CO}\), \(\vec{OB} = \vec{DO}\);
\(OA = CO\), \(OB = DO\);
ABCD — параллелограмм;
Что и требовалось доказать.
В четырехугольнике ABCD дано векторное равенство \(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}\). Это означает, что сумма векторов, идущих от точки пересечения диагоналей O к каждой из вершин четырехугольника, равна нулевому вектору.
Для удобства анализа, мы можем перегруппировать слагаемые в данном векторном равенстве. Сгруппируем векторы, которые принадлежат одной и той же диагонали. Таким образом, мы объединим \(\vec{OA}\) с \(\vec{OC}\) (которые образуют диагональ AC) и \(\vec{OB}\) с \(\vec{OD}\) (которые образуют диагональ BD). Получим выражение \((\vec{OA} + \vec{OC}) + (\vec{OB} + \vec{OD}) = \vec{0}\).
Поскольку диагонали четырехугольника пересекаются в точке O, векторы \(\vec{OA}\) и \(\vec{OC}\) лежат на одной прямой (диагонали AC), а векторы \(\vec{OB}\) и \(\vec{OD}\) лежат на другой прямой (диагонали BD). Если сумма двух векторов (или векторных выражений), которые лежат на разных, непараллельных прямых, равна нулевому вектору, то каждый из этих векторов (или векторных выражений) должен быть равен нулевому вектору. В данном случае, это означает, что \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}\) и \(\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}\).
Рассмотрим первое равенство: \(\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}\). Это векторное равенство можно переписать как \(\vec{OA} = -\vec{OC}\). Такое условие означает, что вектор \(\vec{OA}\) и вектор \(\vec{OC}\) имеют одинаковую длину, но противоположное направление. Поскольку точки A, O, C лежат на одной прямой, это однозначно указывает на то, что точка O является серединой отрезка AC. Следовательно, длина \(OA\) равна длине \(OC\).
Аналогично, рассмотрим второе равенство: \(\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}\). Это равенство можно переписать как \(\vec{OB} = -\vec{OD}\). Это означает, что вектор \(\vec{OB}\) и вектор \(\vec{OD}\) имеют одинаковую длину, но противоположное направление. Поскольку точки B, O, D лежат на одной прямой, это однозначно указывает на то, что точка O является серединой отрезка BD. Следовательно, длина \(OB\) равна длине \(OD\).
Таким образом, мы доказали, что точка O, являющаяся точкой пересечения диагоналей AC и BD, делит каждую из этих диагоналей пополам. По определению, четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, является параллелограммом. Следовательно, ABCD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
