ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 513 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Векторы \(\vec{MN}\), \(\vec{PQ}\) и \(\vec{EF}\) попарно неколлинеарны, причём \(\vec{MN} + \vec{PQ} + \vec{EF} = \vec{0}\). Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам MN, PQ и EF.

Даны неколлинеарные векторы: \(\vec{MN} + \vec{PQ} + \vec{EF} = \vec{0}\).
Векторы, равные данным: \(\vec{AB} = \vec{MN}\), \(\vec{BC} = \vec{PQ}\), \(\vec{CX} = \vec{EF}\).
Из правила сложения векторов следует, что \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CX} = \vec{AX}\).
Поскольку \(\vec{MN} + \vec{PQ} + \vec{EF} = \vec{0}\), то \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CX} = \vec{0}\).
Следовательно, \(\vec{AX} = \vec{0}\).
Это означает, что точка X совпадает с точкой A, то есть \(X \rightarrow A\).
Таким образом, точки A, B, C образуют треугольник с вершинами A, B, C, так как \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\).
Длины сторон этого треугольника равны \(|\vec{AB}| = |\vec{MN}|\), \(|\vec{BC}| = |\vec{PQ}|\), \(|\vec{CA}| = |\vec{EF}|\).
Поскольку векторы \(\vec{MN}\), \(\vec{PQ}\), \(\vec{EF}\) неколлинеарны, данный треугольник не является вырожденным.
Что и требовалось доказать.

Дано, что существуют три неколлинеарных вектора \(\vec{MN}\), \(\vec{PQ}\) и \(\vec{EF}\), сумма которых равна нулевому вектору. Это можно записать как \(\vec{MN} + \vec{PQ} + \vec{EF} = \vec{0}\). Нам необходимо доказать, что из отрезков, длины которых равны длинам этих векторов, можно составить треугольник.

Для удобства обозначим данные векторы как \(\vec{a} = \vec{MN}\), \(\vec{b} = \vec{PQ}\) и \(\vec{c} = \vec{EF}\). Тогда условие задачи примет вид \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\). Длины отрезков, которые мы будем использовать для построения треугольника, соответственно равны \(|\vec{a}|\), \(|\vec{b}|\) и \(|\vec{c}|\).

Возьмем произвольную точку в пространстве, назовем ее A. От этой точки A отложим вектор \(\vec{AB}\), который равен вектору \(\vec{a}\). Таким образом, \(\vec{AB} = \vec{a}\). Длина отрезка AB будет равна длине вектора \(\vec{a}\), то есть \(|\vec{AB}| = |\vec{a}| = |\vec{MN}|\). Точка B однозначно определяется началом A и вектором \(\vec{a}\).

Теперь от точки B, которая является концом первого вектора, отложим вектор \(\vec{BC}\), равный вектору \(\vec{b}\). То есть, \(\vec{BC} = \vec{b}\). Длина отрезка BC будет равна длине вектора \(\vec{b}\), то есть \(|\vec{BC}| = |\vec{b}| = |\vec{PQ}|\). Точка C однозначно определяется началом B и вектором \(\vec{b}\).

Далее от точки C, которая является концом второго вектора, отложим вектор \(\vec{CD}\), равный вектору \(\vec{c}\). То есть, \(\vec{CD} = \vec{c}\). Длина отрезка CD будет равна длине вектора \(\vec{c}\), то есть \(|\vec{CD}| = |\vec{c}| = |\vec{EF}|\). Точка D однозначно определяется началом C и вектором \(\vec{c}\).

Согласно правилу сложения векторов (правилу многоугольника), сумма последовательно отложенных векторов \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\) равна вектору, соединяющему начальную точку первого вектора с конечной точкой последнего вектора. В нашем случае это вектор \(\vec{AD}\). Таким образом, мы имеем \(\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CD}\).

Подставив наши обозначения векторов, получаем \(\vec{AD} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\). Однако, по условию задачи, сумма этих трех векторов равна нулевому вектору: \(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}\). Следовательно, \(\vec{AD} = \vec{0}\).

Вектор, равный нулевому вектору, означает, что его начальная и конечная точки совпадают. В данном случае, \(\vec{AD} = \vec{0}\) означает, что точка D совпадает с точкой A. То есть, \(D \equiv A\).

Таким образом, последовательность отрезков AB, BC, CD (где D совпадает с A) образует замкнутую ломаную ABC, которая замыкается в точке A. Это означает, что точки A, B и C являются вершинами треугольника. Сторонами этого треугольника являются отрезки AB, BC и CA.

Длины сторон этого треугольника будут следующими:
Длина стороны AB равна \(|\vec{AB}| = |\vec{a}| = |\vec{MN}|\).
Длина стороны BC равна \(|\vec{BC}| = |\vec{b}| = |\vec{PQ}|\).
Длина стороны CA (поскольку D совпадает с A, вектор \(\vec{CD}\) это фактически \(\vec{CA}\)) равна \(|\vec{CA}| = |\vec{CD}| = |\vec{c}| = |\vec{EF}|\).

Важно отметить, что по условию задачи данные векторы \(\vec{MN}\), \(\vec{PQ}\) и \(\vec{EF}\) являются неколлинеарными. Это означает, что они не лежат на одной прямой и не параллельны друг другу. Если бы они были коллинеарными, то точки A, B, C могли бы лежать на одной прямой, и треугольник был бы вырожденным (его площадь была бы равна нулю). Поскольку векторы неколлинеарны, точки A, B, C не могут лежать на одной прямой, и, следовательно, они образуют настоящий, невырожденный треугольник.

Таким образом, мы доказали, что существует треугольник, стороны которого равны длинам отрезков MN, PQ и EF.