ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 514 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что для параллелограмма ABCD и произвольной точки X выполняется равенство \(\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}\).
Дано: ABCD — параллелограмм.
Доказать: \(\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}\).
Решение: В параллелограмме ABCD:
\(\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}\);
Перенесем векторы: \(\vec{XA} — \vec{XB} = \vec{XD} — \vec{XC}\), что равносильно \(\vec{XA} + \vec{BX} = \vec{XD} + \vec{CX}\).
По правилу сложения векторов: \(\vec{BX} + \vec{XA} = \vec{BA}\) и \(\vec{CX} + \vec{XD} = \vec{CD}\).
Значит, \(\vec{BA} = \vec{CD}\).
В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому \(\vec{BA} = \vec{CD}\) верно.
Что и требовалось доказать.
Дано: ABCD — параллелограмм.
Доказать: \(\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}\).
Для доказательства этого равенства, мы будем использовать свойства векторов и правила их сложения и вычитания.
Начнем с исходного равенства, которое нам нужно доказать:
\(\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}\).
Перенесем векторы \(\vec{XB}\) из правой части в левую и \(\vec{XC}\) из левой части в правую. При этом помним, что при переносе вектора через знак равенства, он меняет свой знак, что эквивалентно изменению его направления. То есть, \(\vec{-XB}\) становится \(\vec{BX}\) и \(\vec{-XC}\) становится \(\vec{CX}\).
Таким образом, наше равенство преобразуется в:
\(\vec{XA} — \vec{XB} = \vec{XD} — \vec{XC}\).
Теперь перепишем вычитание векторов как сложение с противоположным вектором. Мы знаем, что \(\vec{P} — \vec{Q} = \vec{P} + (-\vec{Q})\). Также, \(\vec{-XB} = \vec{BX}\) и \(\vec{-XC} = \vec{CX}\).
Применяя это правило, получаем:
\(\vec{XA} + \vec{BX} = \vec{XD} + \vec{CX}\).
Теперь применим правило треугольника для сложения векторов. Правило треугольника гласит, что если конец одного вектора совпадает с началом другого, то их сумма — это вектор, идущий от начала первого вектора к концу второго. То есть, \(\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}\).
Рассмотрим левую часть равенства: \(\vec{XA} + \vec{BX}\). Для удобства сложения, поменяем местами слагаемые, так как сложение векторов коммутативно: \(\vec{BX} + \vec{XA}\).
Применяя правило треугольника к \(\vec{BX} + \vec{XA}\), мы получаем вектор \(\vec{BA}\).
Рассмотрим правую часть равенства: \(\vec{XD} + \vec{CX}\). Аналогично, поменяем местами слагаемые: \(\vec{CX} + \vec{XD}\).
Применяя правило треугольника к \(\vec{CX} + \vec{XD}\), мы получаем вектор \(\vec{CD}\).
Таким образом, наше исходное равенство упрощается до:
\(\vec{BA} = \vec{CD}\).
Теперь нам осталось проверить, является ли это утверждение истинным для параллелограмма ABCD.
В параллелограмме противоположные стороны параллельны и равны по длине. Это означает, что векторы, представляющие эти стороны и направленные в одном и том же «обходе» фигуры, будут равны.
Вектор \(\vec{BA}\) направлен от вершины B к вершине A.
Вектор \(\vec{CD}\) направлен от вершины C к вершине D.
В параллелограмме ABCD сторона AB параллельна и равна стороне CD. Вектор \(\vec{AB}\) равен вектору \(\vec{DC}\).
Поскольку \(\vec{BA}\) является вектором, противоположным \(\vec{AB}\) (то есть, \(\vec{BA} = -\vec{AB}\)), и \(\vec{CD}\) является вектором, противоположным \(\vec{DC}\) (то есть, \(\vec{CD} = -\vec{DC}\)), то из \(\vec{AB} = \vec{DC}\) следует, что \(\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{DC} = \vec{CD}\).
Таким образом, равенство \(\vec{BA} = \vec{CD}\) является верным свойством параллелограмма.
Поскольку мы преобразовали исходное равенство в тождество, которое всегда истинно для параллелограмма, это доказывает, что исходное равенство \(\vec{XA} + \vec{XC} = \vec{XB} + \vec{XD}\) верно для любой произвольной точки X.
Что и требовалось доказать.
