ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 515 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место точек X таких, что: 1) \(|\vec{AB} + \vec{BX}| = |\vec{AB}|\); 2) \(|\vec{AB} + \vec{BX}| = |\vec{BX}|\).
1) По правилу сложения векторов \(\vec{AB} + \vec{BX} = \vec{AX}\). Тогда условие \(\left|\vec{AB} + \vec{BX}\right| = \left|\vec{AB}\right|\) становится \(\left|\vec{AX}\right| = \left|\vec{AB}\right|\). Это означает, что расстояние от точки A до точки X равно расстоянию от точки A до точки B. Геометрическое место точек X — окружность радиуса AB с центром в точке A.
2) По правилу сложения векторов \(\vec{AB} + \vec{BX} = \vec{AX}\). Тогда условие \(\left|\vec{AB} + \vec{BX}\right| = \left|\vec{BX}\right|\) становится \(\left|\vec{AX}\right| = \left|\vec{BX}\right|\). Это означает, что расстояние от точки A до точки X равно расстоянию от точки B до точки X. Геометрическое место точек X — серединный перпендикуляр к отрезку AB.
Рассмотрим первое условие: найти геометрическое место точек X таких, что \(\left|\vec{AB} + \vec{BX}\right| = \left|\vec{AB}\right|\).
Для начала, обратимся к левой части уравнения. Векторная сумма \(\vec{AB} + \vec{BX}\) может быть упрощена с использованием правила сложения векторов, известного как правило треугольника. Согласно этому правилу, если конец первого вектора совпадает с началом второго, то их сумма является вектором, идущим от начала первого вектора к концу второго. В данном случае, начало вектора \(\vec{AB}\) — это точка A, а конец вектора \(\vec{BX}\) — это точка X. Таким образом, \(\vec{AB} + \vec{BX} = \vec{AX}\).
Теперь подставим это упрощенное выражение в исходное уравнение. Оно примет вид \(\left|\vec{AX}\right| = \left|\vec{AB}\right|\).
Здесь вертикальные черты \(\left|\ldots\right|\) обозначают модуль или длину вектора. Следовательно, \(\left|\vec{AX}\right|\) представляет собой длину отрезка AX, а \(\left|\vec{AB}\right|\) представляет собой длину отрезка AB. Уравнение \(\left|\vec{AX}\right| = \left|\vec{AB}\right|\) означает, что расстояние от фиксированной точки A до искомой точки X должно быть равно длине отрезка AB, которая является постоянной величиной.
Геометрическое место точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от заданной фиксированной точки, представляет собой окружность. В данном случае, фиксированной точкой является A, а постоянное расстояние равно длине отрезка AB. Следовательно, геометрическое место точек X, удовлетворяющих первому условию, — это окружность с центром в точке A и радиусом, равным длине отрезка AB.
Теперь рассмотрим второе условие: найти геометрическое место точек X таких, что \(\left|\vec{AB} + \vec{BX}\right| = \left|\vec{BX}\right|\).
Как и в первом случае, начнем с упрощения левой части уравнения. Используя то же правило треугольника для сложения векторов, мы снова получаем, что \(\vec{AB} + \vec{BX} = \vec{AX}\).
Подставляя это в исходное уравнение, оно преобразуется в \(\left|\vec{AX}\right| = \left|\vec{BX}\right|\).
Это уравнение означает, что длина отрезка AX должна быть равна длине отрезка BX. Иными словами, искомая точка X должна быть равноудалена от двух фиксированных точек A и B.
Геометрическое место точек, равноудаленных от двух заданных точек, является прямой линией. Эта прямая называется серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти две точки. Серединный перпендикуляр — это прямая, которая перпендикулярна отрезку AB и проходит точно через его середину. Каждая точка на этой прямой находится на одинаковом расстоянии от A и B. Следовательно, геометрическое место точек X, удовлетворяющих второму условию, — это серединный перпендикуляр к отрезку AB.
