ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 517 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Катер из точки A переправляется через реку шириной 300 м с постоянной собственной скоростью. Через 100 с катер причаливает к противоположному берегу в точке B. Прямая AB перпендикулярна параллельным берегам реки. Скорость течения реки \(\sqrt{3}\) м/с. Под каким углом к берегу реки был направлен нос катера?
Рассмотрим \(\Delta ABC\):
\(\angle ABC = 90^\circ\);
\(BC = v_p \cdot t = \sqrt{3} \text{ м/с} \cdot 100 \text{ с} = 100\sqrt{3} \text{ м}\);
\(AB = 300 \text{ м}\);
\(\tan \angle A = \frac{BC}{AB} = \frac{100\sqrt{3}}{300} = \frac{\sqrt{3}}{3}\);
\(\angle A = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = 30^\circ\);
\(\angle C = 90^\circ — \angle A = 90^\circ — 30^\circ = 60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
Для того чтобы катер причалил строго напротив точки старта, его результирующая скорость относительно берега должна быть направлена строго перпендикулярно течению реки. Это означает, что составляющая собственной скорости катера, направленная вдоль реки, должна полностью компенсировать скорость течения реки.
Сначала определим скорость, с которой катер движется перпендикулярно берегу. Эта скорость позволяет ему преодолеть ширину реки. Ширина реки составляет \(300 \text{ м}\), и катер пересекает ее за \(100 \text{ с}\). Таким образом, скорость катера перпендикулярно берегу, которую мы обозначим как \(v_y\), равна отношению пройденного расстояния к затраченному времени: \(v_y = \frac{300 \text{ м}}{100 \text{ с}} = 3 \text{ м/с}\).
Далее, чтобы катер не сносило течением и он причалил строго напротив, его собственная скорость относительно воды должна иметь составляющую, направленную против течения, равную по модулю скорости течения реки. Скорость течения реки \(v_p = \sqrt{3} \text{ м/с}\). Следовательно, составляющая собственной скорости катера, направленная вдоль реки против течения, которую мы обозначим как \(v_x\), должна быть равна \(v_x = \sqrt{3} \text{ м/с}\).
Теперь рассмотрим вектор собственной скорости катера относительно воды. Этот вектор можно разложить на две перпендикулярные составляющие: \(v_x\) (вдоль берега, против течения) и \(v_y\) (перпендикулярно берегу). Эти две составляющие образуют катеты прямоугольного треугольника, где гипотенузой является собственная скорость катера. Угол, под которым нос катера направлен к линии, перпендикулярной берегу, мы обозначим как \(\alpha\).
В этом прямоугольном треугольнике тангенс угла \(\alpha\) определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Противолежащий катет — это \(v_x\), а прилежащий катет — это \(v_y\). Таким образом, мы получаем: \(\tan(\alpha) = \frac{v_x}{v_y}\). Подставим найденные значения: \(\tan(\alpha) = \frac{\sqrt{3} \text{ м/с}}{3 \text{ м/с}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\).
Из таблицы тригонометрических значений известно, что \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\). Следовательно, угол \(\alpha = 30^\circ\). Этот угол \(\alpha\) — это угол между направлением носа катера и линией, перпендикулярной берегу.
В задаче спрашивается, под каким углом нос катера был направлен к берегу реки. Угол к берегу реки является дополнением угла \(\alpha\) до \(90^\circ\). Таким образом, искомый угол равен \(90^\circ — \alpha = 90^\circ — 30^\circ = 60^\circ\).
Ответ: \(60^\circ\).
