ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 518 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Докажите, что \(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\).
Проведем прямую через \(M\) и \(A_1\). На продолжении отрезка \(MA_1\) за точку \(A_1\) отложим отрезок \(A_1D\) так, что \(A_1D = MA_1\).
Рассмотрим четырехугольник \(MBDC\). Точка \(A_1\) является серединой \(BC\) (так как \(AA_1\) — медиана) и серединой \(MD\) (по построению). Так как диагонали \(MD\) и \(BC\) делятся точкой пересечения \(A_1\) пополам, то четырехугольник \(MBDC\) — параллелограмм. В параллелограмме \(MBDC\) сумма векторов \(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{MD}\).
Точка \(M\) делит медиану \(AA_1\) в отношении \(AM : MA_1 = 2 : 1\). Следовательно, \(AM = 2MA_1\).
Из построения \(MD = MA_1 + A_1D = MA_1 + MA_1 = 2MA_1\).
Таким образом, \(AM = MD\).
Векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{MD}\) лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны. Значит, \(\vec{MA} = -\vec{MD}\), или \(\vec{MA} + \vec{MD} = \vec{0}\).
Подставим \(\vec{MD} = \vec{MB} + \vec{MC}\) в уравнение \(\vec{MA} + \vec{MD} = \vec{0}\):
\(\vec{MA} + (\vec{MB} + \vec{MC}) = \vec{0}\)
\(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\).
Для доказательства данного векторного равенства, мы воспользуемся свойствами медиан треугольника и правилом сложения векторов.
Рассмотрим треугольник \(ABC\) с медианами \(AA_1\), \(BB_1\) и \(CC_1\), которые пересекаются в точке \(M\). Точка \(M\) является центроидом треугольника.
Первым шагом, на продолжении медианы \(AA_1\) за точку \(A_1\) отложим отрезок \(A_1D\) такой длины, что \(A_1D = MA_1\). Таким образом, точка \(A_1\) становится серединой отрезка \(MD\).
Теперь рассмотрим четырехугольник \(MBDC\). Мы знаем, что \(A_1\) является серединой стороны \(BC\), поскольку \(AA_1\) — это медиана треугольника \(ABC\). Также, по нашему построению, \(A_1\) является серединой отрезка \(MD\). Поскольку диагонали \(BC\) и \(MD\) четырехугольника \(MBDC\) пересекаются в точке \(A_1\) и делятся ею пополам, то четырехугольник \(MBDC\) является параллелограммом.
В параллелограмме \(MBDC\), согласно правилу параллелограмма для сложения векторов, сумма векторов, исходящих из одной вершины и образующих смежные стороны, равна вектору, представляющему диагональ, исходящую из той же вершины. Применяя это к вершине \(M\), мы получаем, что сумма векторов \(\vec{MB}\) и \(\vec{MC}\) равна вектору \(\vec{MD}\). То есть:
\(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{MD}\)
Далее, вспомним свойство центроида. Точка пересечения медиан \(M\) делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Для медианы \(AA_1\) это означает, что \(AM : MA_1 = 2 : 1\). Следовательно, длина отрезка \(AM\) в два раза больше длины отрезка \(MA_1\), то есть \(AM = 2MA_1\).
Из нашего построения мы знаем, что \(MD = MA_1 + A_1D\). Поскольку мы отложили \(A_1D = MA_1\), то \(MD = MA_1 + MA_1 = 2MA_1\).
Сравнивая длины отрезков \(AM\) и \(MD\), мы видим, что \(AM = 2MA_1\) и \(MD = 2MA_1\), откуда следует, что \(AM = MD\).
Теперь рассмотрим направления векторов \(\vec{MA}\) и \(\vec{MD}\). Вектор \(\vec{MA}\) направлен от точки \(M\) к точке \(A\). Вектор \(\vec{MD}\) направлен от точки \(M\) к точке \(D\). Все точки \(A\), \(M\), \(A_1\), \(D\) лежат на одной прямой. Поскольку \(M\) находится между \(A\) и \(A_1\), а \(D\) находится на продолжении отрезка \(MA_1\) за точку \(A_1\), то векторы \(\vec{MA}\) и \(\vec{MD}\) имеют одинаковую длину, но противоположное направление.
Следовательно, мы можем записать, что \(\vec{MA} = -\vec{MD}\).
Перенеся \(\vec{MD}\) в левую часть уравнения, получаем:
\(\vec{MA} + \vec{MD} = \vec{0}\)
Наконец, подставим выражение для \(\vec{MD}\) из первого векторного равенства (\(\vec{MB} + \vec{MC} = \vec{MD}\)) во второе равенство (\(\vec{MA} + \vec{MD} = \vec{0}\)):
\(\vec{MA} + (\vec{MB} + \vec{MC}) = \vec{0}\)
Раскрывая скобки, получаем искомое равенство:
\(\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = \vec{0}\)
