ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 519 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены параллелограммы \(AA_1B_1B\), \(BB_2C_1C\), \(CC_2A_2A\). Прямые \(A_1A_2\), \(B_1B_2\), \(C_1C_2\) попарно непараллельны. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны отрезкам \(A_1A_2\), \(B_1B_2\) и \(C_1C_2\).

Для \(\triangle ABC\) справедливо векторное равенство \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\).
Так как \(AA_1B_1B\), \(BB_2C_1C\) и \(CC_2A_2A\) являются параллелограммами, то \(\vec{AB} = \vec{A_1B_1}\), \(\vec{BC} = \vec{B_2C_1}\) и \(\vec{CA} = \vec{C_2A_2}\).
Подставляя эти равенства в первое уравнение, получаем \(\vec{A_1B_1} + \vec{B_2C_1} + \vec{C_2A_2} = \vec{0}\).
Рассмотрим сумму векторов, образующих замкнутый многоугольник \(A_2A_1B_1B_2C_1C_2\):
\(\vec{A_2A_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{B_2C_1} + \vec{C_1C_2} + \vec{C_2A_2} = \vec{0}\).
Перегруппируем члены:
\(\vec{A_2A_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} + (\vec{A_1B_1} + \vec{B_2C_1} + \vec{C_2A_2}) = \vec{0}\).
Подставим значение из предыдущего шага:
\(\vec{A_2A_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} + \vec{0} = \vec{0}\).
Следовательно, \(\vec{A_2A_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = \vec{0}\).
Что и требовалось доказать.

Для начала, давайте вспомним основное свойство параллелограмма в векторной форме. В параллелограмме векторы, соответствующие противоположным сторонам, равны. Это означает, что если у нас есть параллелограмм \(PQRS\), то вектор \(\vec{PQ}\) равен вектору \(\vec{SR}\), и вектор \(\vec{PS}\) равен вектору \(\vec{QR}\).

Теперь применим это свойство к каждому из трех параллелограммов, построенных на сторонах треугольника \(ABC\).

Рассмотрим первый параллелограмм \(AA_1B_1B\). В этом параллелограмме сторона \(AB\) противоположна стороне \(A_1B_1\). Следовательно, вектор \(\vec{AB}\) равен вектору \(\vec{A_1B_1}\). Мы можем записать это как \(\vec{AB} = \vec{A_1B_1}\).

Далее, рассмотрим второй параллелограмм \(BB_2C_1C\). В этом параллелограмме сторона \(BC\) противоположна стороне \(B_2C_1\). Таким образом, вектор \(\vec{BC}\) равен вектору \(\vec{B_2C_1}\). Мы можем записать это как \(\vec{BC} = \vec{B_2C_1}\).

И, наконец, рассмотрим третий параллелограмм \(CC_2A_2A\). В этом параллелограмме сторона \(CA\) противоположна стороне \(C_2A_2\). Следовательно, вектор \(\vec{CA}\) равен вектору \(\vec{C_2A_2}\). Мы можем записать это как \(\vec{CA} = \vec{C_2A_2}\).

Теперь вспомним фундаментальное свойство векторов для любого треугольника. Если мы сложим векторы, идущие по сторонам треугольника в одном направлении (например, по часовой стрелке или против часовой стрелки), то их сумма будет равна нулевому вектору. Для треугольника \(ABC\) это означает, что сумма векторов \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) и \(\vec{CA}\) равна нулевому вектору. То есть, \(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}\).

Используя равенства векторов, полученные из свойств параллелограммов, мы можем подставить их в это уравнение. Заменим \(\vec{AB}\) на \(\vec{A_1B_1}\), \(\vec{BC}\) на \(\vec{B_2C_1}\), и \(\vec{CA}\) на \(\vec{C_2A_2}\). В результате мы получим новое векторное равенство: \(\vec{A_1B_1} + \vec{B_2C_1} + \vec{C_2A_2} = \vec{0}\). Это очень важный промежуточный результат.

Теперь рассмотрим более сложный замкнутый путь, который проходит через все точки, упомянутые в доказываемом выражении. Этот путь можно представить как многоугольник \(A_2A_1B_1B_2C_1C_2\). Сумма векторов, образующих этот замкнутый контур, также должна быть равна нулевому вектору. Запишем эту сумму: \(\vec{A_2A_1} + \vec{A_1B_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{B_2C_1} + \vec{C_1C_2} + \vec{C_2A_2} = \vec{0}\).

Давайте перегруппируем члены в этом длинном векторном уравнении. Мы можем собрать вместе те векторы, сумма которых, как мы уже знаем, равна нулю из нашего промежуточного результата. Это векторы \(\vec{A_1B_1}\), \(\vec{B_2C_1}\) и \(\vec{C_2A_2}\). Перепишем уравнение следующим образом: \(\vec{A_2A_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} + (\vec{A_1B_1} + \vec{B_2C_1} + \vec{C_2A_2}) = \vec{0}\).

Как мы выяснили ранее, сумма векторов в скобках, то есть \(\vec{A_1B_1} + \vec{B_2C_1} + \vec{C_2A_2}\), равна нулевому вектору \(\vec{0}\). Подставим \(\vec{0}\) вместо этой суммы в наше перегруппированное уравнение: \(\vec{A_2A_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} + \vec{0} = \vec{0}\).

Прибавление нулевого вектора не меняет сумму векторов. Таким образом, окончательно получаем: \(\vec{A_2A_1} + \vec{B_1B_2} + \vec{C_1C_2} = \vec{0}\).

Это равенство доказывает, что сумма трех векторов \(\vec{A_2A_1}\), \(\vec{B_1B_2}\) и \(\vec{C_1C_2}\) равна нулевому вектору, что и требовалось доказать.