ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 52 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Задача

На стороне \(AB\) треугольника \(ABC\) отметили точку \(K\), а на продолжении стороны \(BC\) за точку \(C\) — точку \(M\). Найдите отрезок \(MK\), если \(AB = 15\) см, \(BC = 7\) см, \(AC = 13\) см, \(AK = 8\) см, \(MC = 3\) см.

Краткий ответ:

Дано: \(AB = 15\), \(BC = 7\), \(AC = 13\), \(AK = 8\), \(MC = 3\). Найти \(MK\).

Рассмотрим треугольник \(ABC\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\).

Подставляем: \(13^2 = 15^2 + 7^2 — 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot \cos \angle B\).

\(169 = 225 + 49 — 210 \cos \angle B\).

\(210 \cos \angle B = 274 — 169 = 105\).

\(\cos \angle B = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}\).

Рассмотрим треугольник \(BKM\).

\(BK = AB — AK = 15 — 8 = 7\).

\(BM = BC + CM = 7 + 3 = 10\).

По теореме косинусов: \(MK^2 = BK^2 + BM^2 — 2 \cdot BK \cdot BM \cdot \cos \angle B\).

\(MK^2 = 7^2 + 10^2 — 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}\).

\(MK^2 = 49 + 100 — 70 = 79\).

\(MK = \sqrt{79}\).

Подробный ответ:

Рассмотрим треугольник \(ABC\) с известными сторонами \(AB = 15\), \(BC = 7\) и \(AC = 13\). Чтобы найти угол \(B\), применим теорему косинусов, которая связывает стороны треугольника и угол между ними. Формула теоремы косинусов для угла \(B\) выглядит так: \(AC^2 = AB^2 + BC^2 — 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle B\). Это позволяет выразить косинус угла \(B\) через длины сторон. Подставим известные значения в формулу: \(13^2 = 15^2 + 7^2 — 2 \cdot 15 \cdot 7 \cdot \cos \angle B\).

Вычислим квадраты чисел: \(169 = 225 + 49 — 210 \cos \angle B\). Сложим числа справа: \(169 = 274 — 210 \cos \angle B\). Теперь выразим косинус угла: \(210 \cos \angle B = 274 — 169 = 105\), откуда \(\cos \angle B = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}\). Таким образом, мы нашли, что угол \(B\) — это угол, косинус которого равен \( \frac{1}{2} \), то есть \(60^\circ\).

Далее рассмотрим треугольник \(BKM\). Для этого найдем длины отрезков \(BK\) и \(BM\). Отрезок \(BK\) равен разности \(AB\) и \(AK\), то есть \(BK = 15 — 8 = 7\). Отрезок \(BM\) равен сумме \(BC\) и \(CM\), то есть \(BM = 7 + 3 = 10\). Теперь применим теорему косинусов к треугольнику \(BKM\), где угол между сторонами \(BK\) и \(BM\) такой же, как угол \(B\) в треугольнике \(ABC\). Формула: \(MK^2 = BK^2 + BM^2 — 2 \cdot BK \cdot BM \cdot \cos \angle B\). Подставим значения: \(MK^2 = 7^2 + 10^2 — 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}\).

Вычислим квадраты и произведения: \(MK^2 = 49 + 100 — 70 = 79\). Чтобы найти длину \(MK\), извлечём квадратный корень: \(MK = \sqrt{79}\). Таким образом, длина отрезка \(MK\) равна \(\sqrt{79}\).

Оцени решение