ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 520 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
В треугольник ABC вписан параллелограмм CDMK так, что угол C у них общий, а точки D, M и K принадлежат соответственно сторонам AC, AB и BC треугольника. Найдите стороны параллелограмма CDMK, если его периметр равен 20 см, AC = 12 см, BC = 9 см.
Дано: CDMK — параллелограмм, \(P_{CDMK} = 20\) см, \(AC = 12\) см, \(BC = 9\) см.
Найти: \(MK\), \(MD\).
Решение:
1. Так как \(MD \parallel BC\), то \(\triangle AMD \sim \triangle ABC\). Из подобия \(\frac{MD}{BC} = \frac{AD}{AC}\). Подставляем \(\frac{MD}{9} = \frac{AD}{12}\), откуда \(MD = \frac{3}{4} AD\).
2. В параллелограмме CDMK, \(CD = MK\). Так как \(AD = AC — CD\), то \(AD = 12 — MK\). Подставляем в выражение для \(MD\): \(MD = \frac{3}{4}(12 — MK) = 9 — \frac{3}{4} MK\).
3. Периметр параллелограмма \(P_{CDMK} = 2(MK + MD)\). Зная \(P_{CDMK} = 20\), получаем \(2(MK + MD) = 20\), то есть \(MK + MD = 10\).
4. Подставляем \(MD = 9 — \frac{3}{4} MK\) в \(MK + MD = 10\): \(MK + (9 — \frac{3}{4} MK) = 10\).
Упрощаем: \(\frac{1}{4} MK = 1\), откуда \(MK = 4\) см.
5. Находим \(MD\): \(MD = 10 — MK = 10 — 4 = 6\) см.
Ответ: \(4\) см; \(6\) см.
Дано: CDMK — параллелограмм, \(P_{CDMK} = 20\) см, \(AC = 12\) см, \(BC = 9\) см.
Найти: \(MK\) и \(MD\).
Рассмотрим треугольник ABC и параллелограмм CDMK. Поскольку CDMK является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны. В частности, сторона MD параллельна стороне CK, которая является частью стороны BC треугольника ABC. Следовательно, прямая MD параллельна прямой BC.
Из параллельности прямых MD и BC следует, что треугольник AMD подобен треугольнику ABC по двум углам. Угол A является общим для обоих треугольников. Угол \(\angle ADM\) равен углу \(\angle ACB\), так как они являются соответственными углами при параллельных прямых MD и BC и секущей AC. Таким образом, \(\triangle AMD \sim \triangle ABC\).
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: \(\frac{MD}{BC} = \frac{AD}{AC}\). Подставим известные значения \(BC = 9\) см и \(AC = 12\) см: \(\frac{MD}{9} = \frac{AD}{12}\). Из этого соотношения выразим MD: \(MD = \frac{9}{12} AD = \frac{3}{4} AD\).
В параллелограмме CDMK противоположные стороны равны. Следовательно, \(CD = MK\). Точка D лежит на стороне AC. Длина отрезка AD может быть выражена как разность длин отрезков AC и CD: \(AD = AC — CD\). Подставим известные значения и равенство \(CD = MK\): \(AD = 12 — MK\).
Теперь подставим выражение для AD в уравнение для MD: \(MD = \frac{3}{4} (12 — MK)\). Раскроем скобки: \(MD = \frac{3}{4} \times 12 — \frac{3}{4} MK\), что упрощается до \(MD = 9 — \frac{3}{4} MK\). Это наше первое уравнение, связывающее длины сторон параллелограмма.
Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его смежных сторон. Для параллелограмма CDMK периметр \(P_{CDMK} = 2(MK + MD)\). По условию задачи периметр равен 20 см: \(2(MK + MD) = 20\). Разделив обе части на 2, получаем второе уравнение: \(MK + MD = 10\).
Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:
1. \(MD = 9 — \frac{3}{4} MK\)
2. \(MK + MD = 10\)
Подставим выражение для MD из первого уравнения во второе уравнение: \(MK + (9 — \frac{3}{4} MK) = 10\). Сгруппируем члены, содержащие MK: \(MK — \frac{3}{4} MK = 10 — 9\). Выполним вычитание: \(\frac{4}{4} MK — \frac{3}{4} MK = 1\), что дает \(\frac{1}{4} MK = 1\). Чтобы найти MK, умножим обе части на 4: \(MK = 4\) см.
Теперь, когда мы знаем значение MK, подставим его во второе уравнение \(MK + MD = 10\), чтобы найти MD: \(4 + MD = 10\). Вычтем 4 из обеих частей уравнения: \(MD = 10 — 4\), следовательно, \(MD = 6\) см.
Ответ: \(4\) см; \(6\) см.
