ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 521 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, составляет \(\frac{3}{4}\) площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

Пусть \(R\) — радиус окружности.
Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона \(a_B\) равна радиусу окружности, то есть \(a_B = R\).
Для правильного шестиугольника, описанного около окружности, его сторона \(a_0\) находится по формуле \(a_0 = 2R \tan\left(\frac{180^\circ}{6}\right) = 2R \tan(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}\).
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих сторон. Пусть \(S_B\) — площадь вписанного шестиугольника, а \(S_0\) — площадь описанного шестиугольника.
Тогда \(\frac{S_B}{S_0} = \left(\frac{a_B}{a_0}\right)^2\).
Подставим значения \(a_B\) и \(a_0\): \(\frac{S_B}{S_0} = \left(\frac{R}{\frac{2R\sqrt{3}}{3}}\right)^2 = \left(\frac{R \cdot 3}{2R\sqrt{3}}\right)^2 = \left(\frac{3}{2\sqrt{3}}\right)^2\).
Упростим дробь в скобках: \(\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
Возведем в квадрат: \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}\).
Таким образом, \(\frac{S_B}{S_0} = \frac{3}{4}\).

Пусть \(R\) обозначает радиус данной окружности.

Рассмотрим правильный шестиугольник, вписанный в эту окружность. Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников, вершины которых расположены в центре окружности. Сторона каждого такого равностороннего треугольника равна радиусу описанной окружности. Следовательно, сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, \(a_B\), равна радиусу окружности: \(a_B = R\).

Теперь рассмотрим правильный шестиугольник, описанный около этой же окружности. В этом случае радиус окружности \(R\) является апофемой описанного шестиугольника, то есть расстоянием от центра до середины каждой стороны. Если мы проведем радиус к точке касания стороны шестиугольника с окружностью, и соединим центр с вершиной шестиугольника, то получим прямоугольный треугольник. Угол в центре, соответствующий половине стороны шестиугольника, равен \(\frac{360^\circ}{6 \cdot 2} = 30^\circ\). В этом прямоугольном треугольнике радиус \(R\) является прилежащим катетом к углу \(30^\circ\), а половина стороны шестиугольника является противолежащим катетом. Используя тангенс, мы можем записать: \(\tan(30^\circ) = \frac{\text{половина стороны}}{R}\). Отсюда половина стороны равна \(R \tan(30^\circ)\). Поскольку \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), половина стороны равна \(R \frac{\sqrt{3}}{3}\). Таким образом, полная сторона правильного шестиугольника, описанного около окружности, \(a_0\), будет в два раза больше: \(a_0 = 2R \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2R\sqrt{3}}{3}\).

Для нахождения отношения площадей правильных шестиугольников, мы можем использовать свойство подобия фигур. Все правильные шестиугольники подобны друг другу. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату отношения их соответствующих линейных размеров, в данном случае — сторон. Пусть \(S_B\) — площадь вписанного шестиугольника, а \(S_0\) — площадь описанного шестиугольника. Тогда отношение их площадей будет равно \(\frac{S_B}{S_0} = \left(\frac{a_B}{a_0}\right)^2\).

Подставим найденные выражения для \(a_B\) и \(a_0\) в это отношение: \(\frac{S_B}{S_0} = \left(\frac{R}{\frac{2R\sqrt{3}}{3}}\right)^2\).

Упростим выражение внутри скобок. Дробь в знаменателе можно перевернуть и умножить: \(\frac{R}{\frac{2R\sqrt{3}}{3}} = R \cdot \frac{3}{2R\sqrt{3}}\). Сократим \(R\) в числителе и знаменателе: \(\frac{3}{2\sqrt{3}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(\frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3}\). Сократим 3 в числителе и знаменателе: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Теперь возведем это упрощенное отношение в квадрат: \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3}{4}\).

Таким образом, мы получили, что \(\frac{S_B}{S_0} = \frac{3}{4}\). Это означает, что площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность, составляет \(\frac{3}{4}\) площади правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.