ГДЗ по Геометрии 9 Класс Номер 525 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте два неколлинеарных вектора \(\vec{x}\) и \(\vec{y}\). Отметьте какую-либо точку O. От точки O отложите векторы:

1) \(3\vec{x} + \vec{y}\); 2) \(\vec{x} + 2\vec{y}\); 3) \(-\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}\); 4) \(-2\vec{x} — \frac{1}{3}\vec{y}\).

Чтобы построить векторы, мы используем правило сложения векторов (от конца первого вектора откладываем начало второго) и умножения вектора на число (длина вектора меняется, направление может измениться на противоположное, если число отрицательное).

Для \(3\vec{x} + \vec{y}\): От точки O откладываем вектор, который в \(3\) раза длиннее вектора \(\vec{x}\) и направлен так же, как \(\vec{x}\). От конца этого нового вектора откладываем вектор \(\vec{y}\). Итоговый вектор будет идти от точки O до конца вектора \(\vec{y}\).

Для \(\vec{x} + 2\vec{y}\): От точки O откладываем вектор \(\vec{x}\). От конца вектора \(\vec{x}\) откладываем вектор, который в \(2\) раза длиннее вектора \(\vec{y}\) и направлен так же, как \(\vec{y}\). Итоговый вектор будет идти от точки O до конца второго вектора.

Для \(-\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y}\): От точки O откладываем вектор, который в \(2\) раза короче вектора \(\vec{x}\) и направлен противоположно \(\vec{x}\). От конца этого нового вектора откладываем вектор, который в \(3\) раза длиннее вектора \(\vec{y}\) и направлен так же, как \(\vec{y}\). Итоговый вектор будет идти от точки O до конца второго вектора.

Для \(-2\vec{x} — \frac{1}{3}\vec{y}\): От точки O откладываем вектор, который в \(2\) раза длиннее вектора \(\vec{x}\) и направлен противоположно \(\vec{x}\). От конца этого нового вектора откладываем вектор, который в \(3\) раза короче вектора \(\vec{y}\) и направлен противоположно \(\vec{y}\). Итоговый вектор будет идти от точки O до конца второго вектора.

Для построения векторов, выраженных в виде линейных комбинаций векторов \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \), необходимо последовательно применять базовые операции векторной алгебры: умножение вектора на скаляр и сложение векторов. Предполагается, что векторы \( \vec{x} \) и \( \vec{y} \) заданы, неколлинеарны, то есть не лежат на одной прямой, что позволяет им образовывать плоскость. Начальная точка для построения всех векторов обозначена как \( O \).

Первое правило — умножение вектора на скаляр. Если имеется вектор \( \vec{a} \) и число-скаляр \( k \), то вектор \( k\vec{a} \) характеризуется следующим образом. Его длина равна произведению абсолютного значения скаляра на длину исходного вектора: \( |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| \). Направление вектора зависит от знака скаляра: если \( k > 0 \), то \( k\vec{a} \) сонаправлен с \( \vec{a} \); если \( k < 0 \), то \( k\vec{a} \) направлен противоположно \( \vec{a} \); если \( k = 0 \), то результатом будет нулевой вектор \( \vec{0} \), длина которого равна нулю и направление не определено. Например, \( 3\vec{x} \) — вектор в три раза длиннее и с тем же направлением, что и \( \vec{x} \), а \( -\frac{1}{2}\vec{x} \) — вектор в два раза короче и направлен в противоположную сторону.

Второе правило — сложение векторов. Для сложения двух векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) используется правило треугольника. Сначала от начальной точки \( O \) откладывается вектор \( \vec{a} \), его конец становится промежуточной точкой. Затем от конца вектора \( \vec{a} \) откладывается вектор \( \vec{b} \). Конечная точка вектора \( \vec{b} \) определяет конец суммарного вектора \( \vec{a} + \vec{b} \). Этот суммарный вектор начинается в точке \( O \) и заканчивается в конечной точке второго вектора, замыкая треугольник с векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).

Рассмотрим поэтапно построение каждого из заданных векторов.

Построение вектора \( 3\vec{x} + \vec{y} \): сначала от точки \( O \) откладываем вектор \( 3\vec{x} \), который имеет то же направление, что и \( \vec{x} \), но длина увеличена в 3 раза. Конец этого вектора — промежуточная точка. Затем от этой точки откладываем вектор \( \vec{y} \) с неизменённой длиной и направлением. Конечная точка вектора \( \vec{y} \) определяет конец вектора \( 3\vec{x} + \vec{y} \), который начинается в \( O \) и заканчивается в этой конечной точке.

Построение вектора \( \vec{x} + 2\vec{y} \): от начальной точки \( O \) откладываем вектор \( \vec{x} \). Его конец — промежуточная точка. От неё откладываем вектор \( 2\vec{y} \), который направлен так же, как \( \vec{y} \), но в 2 раза длиннее. Конечная точка \( 2\vec{y} \) — конец искомого вектора \( \vec{x} + 2\vec{y} \), который начинается в \( O \) и заканчивается в этой точке.

Построение вектора \( -\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y} \): от точки \( O \) откладываем вектор \( -\frac{1}{2}\vec{x} \). Поскольку множитель отрицательный, вектор направлен противоположно \( \vec{x} \), а длина равна половине длины \( \vec{x} \). Конец этого вектора — промежуточная точка. От неё откладываем вектор \( 3\vec{y} \), который имеет направление \( \vec{y} \), но длину, увеличенную в 3 раза. Конечная точка \( 3\vec{y} \) — конец искомого вектора \( -\frac{1}{2}\vec{x} + 3\vec{y} \), начинающегося в \( O \).

Построение вектора \( -2\vec{x} — \frac{1}{3}\vec{y} \): от точки \( O \) откладываем вектор \( -2\vec{x} \). Он направлен противоположно \( \vec{x} \) и в 2 раза длиннее исходного вектора. Конец этого вектора — промежуточная точка. От неё откладываем вектор \( -\frac{1}{3}\vec{y} \), который направлен противоположно \( \vec{y} \) и в 3 раза короче. Конечная точка этого вектора — конец искомого вектора \( -2\vec{x} — \frac{1}{3}\vec{y} \), начинающегося в \( O \).

Во всех случаях построение сводится к последовательному масштабированию векторов на соответствующие скаляры, а затем сложению масштабированных векторов по правилу треугольника. Итоговый вектор соединяет начальную точку \( O \) с конечной точкой последнего построенного вектора, отражая сумму линейной комбинации.